次の定積分を求めよ
（１）\( \displaystyle I = \int_0^1 x^2 \sqrt{1-x^2} dx \)
（２）\( \displaystyle J = \int_0^1 x^3 \log (x^2+1) dx \)
【解説】
（１）は三角関数を使った置換積分です。三角関数の積分では、半角・倍角の公式を駆使し、積を和に変換して計算します。
【倍角の公式】
\begin{eqnarray}
&& \sin2\theta = 2 \sin\theta \cos\theta \\
&& \cos2\theta = \cos^2\theta – \sin^2\theta \\
&& \hspace{20pt} = 2\cos^2\theta -1 = 1-2\sin^2\theta
\end{eqnarray}
【半角の公式】
\begin{eqnarray}
&& \cos^2\theta = \frac{1}{2}(1+\cos2\theta) \\
&& \sin^2\theta = \frac{1}{2}(1-\cos2\theta)
\end{eqnarray}
（２）は部分積分を使って計算します。部分積分では、対数の因子を微分します。以下の対数の微分はしっかりとマスターしておきましょう。
【対数の微分】
$$ \left[ \log \{ f(x) \} \right]^{\prime} = \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} $$
【解答】
（１） \( x=\sin\theta \) とおくと
\begin{equation}
dx = \cos\theta d\theta \\
\begin{array}{c|ccc}
x & 0 & \rightarrow & 1 \\
\hline
\theta & 0 & \rightarrow & \frac{\pi}{2}
\end{array}
\end{equation}
となるので
\begin{eqnarray}
I && = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2\theta \sqrt{1-\sin^2\theta} \cdot \cos\theta d\theta \\
&& = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2\theta \sqrt{\cos^2\theta} \cdot \cos\theta d\theta \\
&& = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2\theta \cos^2\theta d\theta \\
&& = \int_0^{\frac{\pi}{2}} ( \sin\theta \cos\theta )^2 d\theta \\
&& = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1}{2} \sin2\theta \right)^2 d\theta \\
&& = \frac{1}{4} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 2\theta d\theta \\
&& = \frac{1}{4} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} ( 1 – \cos 4\theta ) d\theta \\
&& = \frac{1}{8} \left[ \theta – \frac{1}{4} \sin 4\theta \right]_0^{\frac{\pi}{2}} \\
&& = \frac{1}{8} \cdot \frac{\pi}{2} \\
&& = \frac{\pi}{16} \cdots （答）
\end{eqnarray}
（２）
\begin{eqnarray}
J && = \int_0^1 x^3 \log (x^2+1) dx \\
&& = \int_0^1 \left( \frac{1}{4} x^4 \right)^{\prime} \log (x^2+1) dx \\
&& = \left[ \frac{1}{4}x^4 \cdot \log (x^2+1) \right]_0^1 – \int_0^1 \frac{1}{4} x^4 \cdot \frac{2x}{x^2+1} dx \\
&& = \frac{1}{4} \log2 – \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{x^5}{x^2+1} dx
\end{eqnarray}
ここで
\begin{eqnarray}
\frac{x^5}{x^2+1} && = x^3-x+\frac{x}{x^2+1}
\end{eqnarray}
だから
\begin{eqnarray}
J && = \frac{1}{4} \log2 – \frac{1}{2} \int_0^1 \left( x^3-x+\frac{x}{x^2+1} \right) dx \\
&& = \frac{1}{4} \log2 – \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{4}x^4 – \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2} \log(x^2+1) \right]_0^1 \\
&& = \frac{1}{4} \log2 – \frac{1}{2} \left( \frac{1}{4} – \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \log2 \right) \\
&& = \frac{1}{8} \cdots （答）
\end{eqnarray}
