以下の問いに答えよ。
（1）自然数 \(n\) が \(6\) と互いに素であるとき、\(n^2\) を \(24\) で割った余りは \(1\) であることを示せ。
（2）\(p^2-1=24q\) を満たす素数 \(p\) と素数 \(q\) の組 \((p.q)\) をすべて求めよ。
【解説】
素数を扱った整数問題です。例えば、\(2\) の倍数の中で素数は \( 2 \) だけ、\( 3 \) の倍数の中で素数は \( 3 \) だけです。
本問題では、\( 6 \) で割った余りで場合分けします。余りは \( 0,1,2,3,4,5 \) ですが、\(0,\pm1,\pm2,3 \) とすると場合分けのパターンが減り、記述を集約できます。工夫してみてください。
【解答】
（1）\(n\) と \(6\) は互いに素だから、\(n\) は \(2,3\) の倍数ではない。\(n\) を \(6\) で割った余りは \(1\) または \(5\) となるので、\( n=6k\pm1 \ (k：整数) \) と表せる。
\begin{eqnarray}
n^2 &=& (6k\pm1) \\
&=& 36k^2\pm12k+1 \\
&=& 24k^2+12k^2\pm12k+1 \\
&=& 24k^2+12k(k\pm1)+1 \cdots ①
\end{eqnarray}
ここで \( k(k\pm1) \) は連続する2整数の積だから偶数となり、\( 12k(k\pm1) \) は \(24\) の倍数となる。よって、①より \( n^2 \) を \(24\) で割った余りは \(1\) となる。
（2）
$$ p^2=24q \cdots ② $$
素数は \(2\) 以上だから \(q\ge2\) となり
\begin{equation}
p^2-1 \ge 24 \times 2 \\
p^2 \ge 49 \\
∴p \ge 7 \\
\end{equation}
i) \( p=7 \) のとき \( q=2 \)
ii) \( p \gt 7 \) のとき、\(p\) は \(7\) より大きい素数だから、\(2\) の倍数、\(3\) の倍数ではないので、6で割った余りは\(1\) または \(5\) である。
$$ p=6k\pm1 \ (k：2以上の整数) $$
②に代入すると
\begin{equation}
(6k\pm1)^2-1=24q \\
36k^2\pm12k=24q \\
k(3k\pm1)=2q \\
\end{equation}
\( k\ge2, \ 3k\pm1 \) であり、\(2, \ q \) は素数だから
\begin{equation}
k=2, \ q=3k\pm1\\
∴(p,q)=(6k\pm1, 3k\pm1)=(13,7),(11,5)
\end{equation}
i),ii) より
$$ (p,q)=(7,2),(13,7),(11,5) \cdots （答） $$
