\(n\) を自然数とする。\(1\) 個のさいころを \(n\) 回投げ、出た目を順に \(X_1, X_2, \cdots, X_n\) とし、\(n\) 個の数の積 \(X_1 X_2 \cdots X_n\) を \(Y\) とする。
（1）\(Y\) が \(5\) で割り切れる確率を求めよ。
（2）\(Y\) が \(15\) で割り切れる確率を求めよ。
解説
5で割り切れるためには1回以上、5の目が出なければなりません。5の目が1回、2回、…、n回出る確率の和を求めれば良いが、計算がたいへんです。5の目が出ない余事象を考えた方が良いですね。
解答
（1） \(5\) で割り切れない確率を考える。\(n\) 回のうち、すべて \(5\) 以外の数が出る確率は
$$ \left( \frac{5}{6} \right)^n $$
よって、求める確率は
$$ 1 – \left( \frac{5}{6} \right)^n \cdots （答）$$
（2）
\( 15 = 3 \times 5 \)
\(3\) で割り切れない事象を \(A\)、その確率を \(P(A)\)
\(5\) で割り切れない事象を \(B\)、その確率を \(P(B)\)
とすると、求める確率は
$$ 1-P(A \cup B) = 1 – \{ P(A)+P(B)-P(A \cap B) \} \cdots ① $$
事象 \(A\) は \(3,6\) が出ない確率だから
$$ P(A) = \left( \frac{4}{6} \right)^n = \left( \frac{2}{3} \right)^n $$
事象 \(B\) は \(5\) が出ない確率だから
$$ P(B) = \left( \frac{5}{6} \right)^n $$
事象 \(A \cap B \) は \(3,5,6\) が出ない確率だから
$$ P(A \cap B) = \left( \frac{3}{6} \right)^n = \left( \frac{1}{2} \right)^n $$
求める確率は①より
\begin{equation}
1- \left\{ \left( \frac{2}{3} \right)^n + \left( \frac{5}{6} \right)^n – \left( \frac{1}{2} \right)^n \right\} \hspace{30pt} \\
= 1 – \left( \frac{2}{3} \right)^n – \left( \frac{5}{6} \right)^n + \left( \frac{1}{2} \right)^n \cdots （答）
\end{equation}
