空間内の \(4\) 点 \( O, A, B,C \) は同一平面上にないとする。点 \( D, P, Q \) を次のように定める。点 \(D\) は \( \vec{OD}= \vec{OA}+2\vec{OB}+3\vec{OC} \) を満たし、点 \(P\) は線分 \(OA\) を \(1:2\) に内分し、点 \(Q\) は線分 \(OB\) の中点である。さらに、直線 \(OD\) 上の点 \(R\) を、直線 \(QR\) と直線 \(PC\) が交点を持つように定める。このとき、線分 \(OR\) の長さと線分 \(RD\) の長さの比 \(OR:RD\) を求めよ。
解説
直線 \(QR\) と直線 \(PC\) が交点を持つためには、点 \(R\) が平面 \(PQC\) 上にあればいいですね。
直線や平面上の点であるとき、以下のよう性質を使うと簡単に計算できることが多いです。是非、マスターしておきましょう。
\( \vec{OP}=k\vec{OA}+l\vec{OB} \) である点 \(P\) が直線 \(AB\) 上の点のとき \( k+l=1\) となる
\( \vec{OP}=k\vec{OA}+l\vec{OB}+m\vec{OC} \) である点 \(P\) が平面 \(ABC\) 上の点であるとき、\( k+l+m=1\) となる
解答
題意より
\begin{equation}
\vec{OR} = t \vec{OD} （t：実数）\cdots ① \\
\vec{OP}=\frac{1}{3}\vec{OA} \Leftrightarrow \vec{OA}=3\vec{OP} \cdots ② \\
\vec{OQ}=\frac{1}{2}\vec{OB} \Leftrightarrow \vec{OB}=2\vec{OQ} \cdots ③ \\
\end{equation}
だから
\begin{eqnarray}
\vec{OR} && = t \vec{OD} \\
&& = t ( \vec{OA}+2\vec{OB}+3\vec{OC} ) \\
&& = t ( 3\vec{OP}+2\cdot2\vec{OQ}+3\vec{OC} ) \\
&& = 3t\vec{OP}+4t\vec{OQ}+3t\vec{OC} \cdots ④
\end{eqnarray}
直線 \(QR\) と直線 \(PC\) が交点を持つためには、点 \(R\) は平面 \(PQC\) 上の点となるので、
\begin{equation}
3t+4t+3t=1 \\
10t=1 \\
t=\frac{1}{10} \\
∴ \vec{OR}=\frac{1}{10}\vec{OD}
\end{equation}
よって
\begin{equation}
OR:RD=1:9 \cdots （答）
\end{equation}
