2021年 防衛医大
\( 2^{345} \) を \( 30 \) で割った余りはいくらか。
【解説】
\( 2^n \) を \( 30 \) で割った余りを求める問題です。合同式を使うと簡単に求められます。\( 2 \) の累乗で、割る数 \( 30 \) より大きい数を考えます。\( 2^4< 30<2^5 \) なので、\( 2^5=32\equiv2 ( \mod30 ) \) を使います。
【問題】
\( 2^5 = 32 \) を \( 30 \) で割った余りを考える。
$$ 2^5=32\equiv2 (\mod 30) \cdots ① $$
となるので、
\begin{eqnarray}
2^{345} &=& \left( 2^5 \right)^{69} \equiv 2^{69} \\
&=& \left( 2^5 \right)^{13} \cdot 2^4 \equiv 2^{13} \cdot 2^4 = 2^{17} \\
&=& \left( 2^5 \right)^3 \cdot 2^2 \equiv 2^3 \cdot 2^2 = 2^5 \equiv 2 \\
\end{eqnarray}
よって、求める余りは \( 2 \cdots \) （答）
