\( p \) を素数、\( a,b \) を整数とする。このとき、次の問に答えよ。
（１） \( (a+b)^p-a^p-b^p \) は \( p \) で割り切れることを示せ。
（２） \( (a+2)^p-a^p \) は偶数であることを示せ。
（３） \( (a+2)^p-a^p \) を \( 2p \) で割ったときの余りを求めよ。
【解説】
2項定理を使って展開します。\( {}_p \mathrm{C}_k \) の分子の因数に \( p \) を持ちます。 \( p \) は素数なので約分されません。そのため、\( {}_p \mathrm{C}_k \) が \( p \) の倍数であることがわかります。考え方としては難しくないのですが、記述が難しいですね。（３）では\( p=2 \)、\( p \) が \( 3 \) 以上で場合分けが必要です。注意しましょう。
【解答】
（１）
\begin{equation}
\begin{array}{l}
(a+b)^p-a^p-b^p \\
\hspace{10pt} = ( a^p + {}_p \mathrm{C}_1 a^{p-1}b + {}_p \mathrm{C}_2 a^{p-2}b^2 + \cdots + {}_p \mathrm{C}_{p-1} ab^{p-1} +b^p ) \\
\hspace{30pt} – a^p – b^p \\
\hspace{10pt} = {}_p \mathrm{C}_1 a^{p-1}b + {}_p \mathrm{C}_2 a^{p-2}b^2 + \cdots + {}_p \mathrm{C}_{p-1} ab^{p-1} \cdots ① \\
\end{array}
\end{equation}
ここで、\( {}_p \mathrm{C}_k (k=1,2,\cdots,p-1) \) を考える。
\begin{eqnarray}
{}_p \mathrm{C}_k &=& \frac{p(p-1) \cdots (p-k+1)}{k!} \\
&=& p \times \frac{(p-1) \cdots (p-k+1)}{k!} \cdots ② \\
\end{eqnarray}
\( p \) は素数だから \( 1,2,\cdots,k \) のいずれとも素、また \( {}_p \mathrm{C}_k \) は整数だから、\( \frac{(p-1) \cdots (p-k+1)}{k!} \) が整数となる。\( {}_p \mathrm{C}_k \) は \( p \) で割り切れるので、①も \( p \) で割り切れる。
（２）
\begin{equation}
\begin{array}{l}
(a+2)^p-a^p \\
\hspace{10pt} = ( a^p + {}_p \mathrm{C}_1 a^{p-1}2 + {}_p \mathrm{C}_2 a^{p-2}2^2 + \cdots + {}_p \mathrm{C}_{p-1} a2^{p-1} + 2^p ) – a^p \\
\hspace{10pt} = {}_p \mathrm{C}_1 a^{p-1}2 + {}_p \mathrm{C}_2 a^{p-2}2^2 + \cdots + {}_p \mathrm{C}_{p-1} a2^{p-1} + 2^p \\
\hspace{10pt} = 2( {}_p \mathrm{C}_1 a^{p-1} + {}_p \mathrm{C}_2 a^{p-2}2 + \cdots + {}_p \mathrm{C}_{p-1} a2^{p-2} + 2^{p-1} ) \cdots ③ \\
\end{array}
\end{equation}
よって③は \( 2 \) で割り切れる。
（３）③より
\begin{equation}
\begin{array}{l}
(a+2)^p-a^p \\
\hspace{10pt} = 2( {}_p \mathrm{C}_1 a^{p-1} + {}_p \mathrm{C}_2 a^{p-2}2 + \cdots + {}_p \mathrm{C}_{p-1} a2^{p-2} )+ 2^p \cdots ④ \\
\end{array}
\end{equation}
\( {}_p \mathrm{C}_k \) は \( p \) で割り切れるので
$$ 2( {}_p \mathrm{C}_1 a^{p-1} + {}_p \mathrm{C}_2 a^{p-2}2 + \cdots + {}_p \mathrm{C}_{p-1} a2^{p-2} ) $$
は \( 2p \) で割り切れる。求める余りは \( 2^p \) を \( 2p \) で割った余りとなる。
ここで（１）の結果に \( a=b=1 \) を代入すると
$$ (1+1)^p – 1^p – 1^p = 2^p-2 \cdots ④ $$
④は \( p \) で割り切れるので
\begin{equation}
2^p-2 = p \times m \ (m:整数) \\
∴2^p = p \times m + 2 \cdots ⑤
\end{equation}
⑤の左辺は \( 2 \) の倍数だから、右辺も \( 2 \) の倍数となり、\( p \times m \) は \( 2 \) の倍数となる。
i) \( p \ne 2 \) のとき
\( p \) と \( 2 \) は互いに素であり、\( m \) が \( 2 \) の倍数となるので、
\begin{equation}
m=2M \ (M:整数) \\
∴2^p = p \times 2M + 2 \\
2^p = 2p \times M + 2 \cdots ⑥ \\
\end{equation}
⑥より \( 2^p \) を \( 2p \) で割った余りは \( 2 \) となる。
ii) \( p = 2 \) のとき
$$ 2^p = 2^2 = 4 $$
となり、\( 2p=2 \times 2 = 4 \) で割った余りは\( 0 \) となる。
i),ii)より \( 2p \) で割った余りは、
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{lc}
0 & (p = 2) \\
2 & (p \ge 3 ) \\
\end{array}
\right. \cdots （答）
\end{equation}
