\(e^x \sin x、e^x \cos x\)の部分積分
部分積分で求める問題として、以下のような問題がありますが、計算できますか？
\begin{eqnarray}
\int ( e^x \cos x )dx & = & \frac{1}{2} ( e^x \sin x + e^x \cos x ) + C \\
\int ( e^x \sin x )dx & = & \frac{1}{2} ( e^x \sin x – e^x \cos x ) + C
\end{eqnarray}
上記を部分積分を使って求める場合、\(I=\int ( e^x \sin x )dx\)とおいて計算しますが、以下の方法で求めることもできます。
積の微分
2つの関数\( f(x)、g(x) \) の積 \( f(x) \cdot g(x) \) の微分は、
$$ \{ f(x)\cdot g(x) \}^{\prime} = f^{\prime}(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g^{\prime}(x) \tag{1} $$
となります。これはご存じですよね。
部分積分の公式
積の微分の式(1)を移項し、
$$ f^{\prime}(x) \cdot g(x) = \{ f(x)\cdot g(x) \}^{\prime} – f(x) \cdot g^{\prime}(x) \tag{2} $$
と変形し、両辺を\( x \)で積分すると、
$$ \int f^{\prime}(x) \cdot g(x) dx = f(x)\cdot g(x) – \int f(x) \cdot g^{\prime}(x) \tag{3} dx $$
となります。これが一般的な部分積分の公式です。
\(e^x \sin x、e^x \cos x\)の微分から積分を求める
同じ考え方で、\(e^x \sin x、e^x \cos x\)の微分を考えます。
\begin{eqnarray}
( e^x \sin x )^{\prime} & = & e^x \sin x + e^x \cos x \tag{4} \\
( e^x \cos x )^{\prime} & = & e^x \cos x – e^x \sin x\tag{5}
\end{eqnarray}
式(4)と式(5)の両辺を足すと、
\begin{eqnarray}
2 e^x \cos x & = & (e^x \sin x)^{\prime} + ( e^x \cos x )^{\prime} \\
e^x \cos x & = & \frac{1}{2} ( e^x \sin x + e^x \cos x )^{\prime} \\
\int ( e^x \cos x )dx & = & \frac{1}{2} ( e^x \sin x + e^x \cos x ) + C \tag{6}
\end{eqnarray}
また、式(4)と式(5)の両辺を引くと、
\begin{eqnarray}
2 e^x \sin x & = & (e^x \sin x)^{\prime} – ( e^x \cos x )^{\prime} \\
e^x \sin x & = & \frac{1}{2} ( e^x \sin x – e^x \cos x )^{\prime} \\
\int ( e^x \sin x )dx & = & \frac{1}{2} ( e^x \sin x – e^x \cos x ) + C \tag{7}
\end{eqnarray}
となり、\(e^x \sin x、e^x \cos x\) の積分を求めることができます。通常は部分積分の公式を使って計算しますが、三角関数の対称性から簡単に計算できます。お試しください。
