【問題】対数の整数部分、小数部分を求める

【解答】
（１）\( m \) は \( \log_{2}{6} \) の整数部分だから、
\begin{equation}
\log_{2}{4} < \log_{2}{6} < \log_{2}{8} \\
\log_{2}{2^2} < \log_{2}{6} < \log_{2}{2^3} \\
2 < \log_{2}{6} < 3 \\
∴m = 2
\end{equation}
①に \( m = 2 \) を代入すると、
\begin{eqnarray}
\log_{2}{6} & = & 2 + \frac{1}{n+a} \\
\frac{1}{n+a} & = & \log_{2}{6} – 2 \\
& = & \log_{2}{2 \cdot 3} – 2 \\
& = & 1 + \log_{2}{3} – 2 \\
& = & \log_{2}{3} – 1 \cdots ②
\end{eqnarray}

ここで、
\begin{eqnarray}
2^3 < 3^2 & \Leftrightarrow & 3 < \log_{2}{3^2} \\
& \Leftrightarrow & \frac{3}{2} < \log_{2}{3} \\
3^3 < 2^5 & \Leftrightarrow & \log_{2}{3^3} < 5 \\
& \Leftrightarrow & \log_{2}{3} < \frac{5}{3}
\end{eqnarray}
だから、
\begin{equation}
\frac{3}{2} < \log_{2}{3} < \frac{5}{3} \\
\frac{3}{2}-1 < \log_{2}{3}-1 < \frac{5}{3}-1 \\
\frac{1}{2} < \log_{2}{3}-1 < \frac{2}{3} \\
\end{equation}
②より
\begin{equation}
\frac{1}{2} < \frac{1}{n+a} < \frac{2}{3} \\
\frac{3}{2} < n+a < 2 \cdots ③
\end{equation}
\( n \) は自然数だから、\( n=1 \) となる。以上より、
$$ (m,n)=(2,1) \cdots （答） $$

（２）②より
\begin{eqnarray}
a+1 & = & \frac{1}{\log_{2}{3}-1} \\
a & = & \frac{1}{\log_{2}{3}-1} – 1 \\
∴a-\frac{2}{3} & = & \frac{1}{\log_{2}{3}-1} – \frac{5}{3} \\
& = & \frac{3-5(\log_{2}{3}-1)}{3(\log_{2}{3}-1)}\\
& = & \frac{8-5\log_{2}{3}}{3(\log_{2}{3}-1)} \cdots ④
\end{eqnarray}
ここで、
\begin{eqnarray}
④の分母 & = & 3(\log_{2}{3}-1) > 0 \\
④の分子 & = & 8-5\log_{2}{3} \\
& = & \log_{2}{2^8} – \log_{2}{3^5} \\
& = & \log_{2}{256} – \log_{2}{243} > 0
\end{eqnarray}
となるから、
\begin{equation}
a-\frac{2}{3} > 0 \\
∴a > \frac{2}{3} \cdots（証明終了）
\end{equation}