【問題】n^3+1、n^n+1が3で割り切れるときのnの値を求める

\( n \) を \( 3 \) で割ったときの余りで場合分けして計算する問題です。modを使うと比較的簡単に求めることができます。

【解答】（１）
i) \( n \equiv 0 \ (\mod3) \) のとき　（※3で割り切れるとき）
$$ n^3 + 1 \equiv 0^3 + 1 = 1 $$
ii) \( n \equiv 1 \ (\mod3) \) のとき　（※3で割って1余るとき）
$$ n^3 + 1 \equiv 1^3 + 1 = 1 + 1 = 2 $$
iii) \( n \equiv 2 \ (\mod3) \) のとき　（※3で割って2余るとき）
$$ n^3 + 1 \equiv 2^3 + 1 = 8 + 1 = 9 \equiv 0 $$
i)～iii)から、\( n^3 + 1 \) が \( 3 \) で割り切れるのは、iii)のとき、すなわち、
$$ n=3k-1（k:自然数） $$
のときとなる。

【解答】（２）
i) \( n \equiv 0 \ (\mod3) \) のとき　（※3で割り切れるとき）
$$ n^n + 1 \equiv 0^n + 1 = 1 $$
ii) \( n \equiv 1 \ (\mod3) \) のとき　（※3で割って1余るとき）
$$ n^n + 1 \equiv 1^n + 1 = 1 + 1 = 2 $$
iii) \( n \equiv 2 \equiv -1 \ (\mod3) \) のとき　（※3で割って2余るとき）
\begin{eqnarray}
n^n + 1 \equiv (-1)^n + 1 \\
=
\left\{
\begin{array}{l}
2 \ （n:偶数） \\
0 \ （n:奇数） \\
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
i)～iii)から、\( n^3 + 1 \) が \( 3 \) で割り切れるのは、
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{ll}
n=3k-1 & （k:自然数）\cdots ① \\
n=2l-1 & （l:自然数） \cdots ② \\
\end{array}
\right.
\end{equation}
を満たすときである。このとき①②より
\begin{equation}
3k-1 = 2l-1 \\
3k = 2l
\end{equation}
となり、右辺は2の倍数だから左辺も2の倍数となるため、\( k \) が2の倍数となる。すなわち、
$$ k=2k^{\prime} （ただしk^{\prime}:自然数）$$
となり、
$$ n=3k-1=6k^{\prime}-1 （ただしk^{\prime}:自然数）$$
のときに3で割り切れる。