【問題】4^(2n-1) + 3^(n+1)は13の倍数であることを示す

合同式を使うと比較的簡単に証明できます。合同式を使う場合、指数の中の数字の余りが \( \pm 1 \) とする、または指数を合わせることがポイントです。今回は指数を揃える方法の問題です。

【解答】
\begin{eqnarray}
& & 4^{2n-1} = 4^{2(n-1)+1} = 4 \cdot 4^{2(n-1)} = 4 \cdot 16^{n-1} \\
& & 3^{n+1} = 3^{(n-1)+2} = 3^2 \cdot 3^{n-1} = 9 \cdot 3^{n-1} \\
∴ & & 4^{2n-1} + 3^{n+1} = 4 \cdot 16^{n-1} + 9 \cdot 3^{n-1}
\end{eqnarray}
ここで、\( \bmod 13 \) を考える。\( 16 \equiv 3 （16を13で割った余りは3）\) だから、
\begin{eqnarray}
4 \cdot 16^{n-1} + 9 \cdot 3^{n-1} & \equiv & 4 \cdot 3^{n-1} + 9 \cdot 3^{n-1} \\
& = & 13 \cdot 3^{n-1} \\
& \equiv & 0
\end{eqnarray}
となり、\( 13 \) の倍数となりる。