2021年 奈良県立医科大学
素数 \(p\) は、正整数 \(x,y\) を用いて \( p=x^3+y^3 \) と表せるとする。
（1）整式 \( u^3+v^3 \) を因数分解せよ。
（2）\(x+y=p\) を証明せよ。
（3）\( p=2 \) を証明せよ。
【解答】
（1）
$$ u^3+v^3=(u+v)(u^2-uv+v^3) \cdots （答） $$
（2）
\begin{eqnarray}
p &=& x^3+y^3 \\
&=& (x+y)(x^2-xy+y^2)
\end{eqnarray}
\(x,y\) は正整数であり、\(x+y\ge2\) だから
$$ x+y=p, \ x^2-xy+y^2=1 $$
よって \( x+y=p \) となる。
（3）
\begin{equation}
x^2-xy+y^2=1 \cdots ① \\
y^2-xy+x^2-1=0
\end{equation}
\(y\) について解くと
\begin{eqnarray}
y &=& \frac{x\pm\sqrt{x^2-4(x^2-1)}}{2} \\
&=& \frac{x\pm\sqrt{4-3x^2}}{2} \\
\end{eqnarray}
\( x-3x^2 \ge 0 \) だから、\(x=1\) となる。①より
\begin{equation}
1^2-y+y^2=1 \\
y(y-1)=0
\end{equation}
\(y\) は正整数だから \( y=1 \) となるので、
$$ p=x+y=1+1=2 \cdots（答） $$
