【問題】分数の値（京都産業大学）

【解答】

与えられた式に \( xyz （ただしxyz\ne0）\) をかけると
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{ll}
y+z=kx & \cdots ① \\
z+x=ky & \cdots ② \\
x+y=kz & \cdots ③
\end{array}
\right .
\end{equation}
①+②+③より
\begin{equation}
(y+z)+(z+x)+(x+y)=kx+ky+kz \\
2(x+y+z)=k(x+y+z) \cdots ④ \\
\end{equation}

i) \( x+y+z \ne 0 \) のとき④より \( k=2 \)

ii) \( x+y+z = 0 \) のとき \( z=-(x+y) \cdots ⑤ \)
⑤を③に代入すると
\begin{equation}
x+y=-k(x+y) \cdots ⑥
\end{equation}
a) \( x+y \ne 0 \) のとき⑥より \( k=-1 \)
b) \( x+y=0 \) のとき⑤より \( z=0 \) となり不適。

i),ii)より
\begin{equation}
\begin{array}{ll}
x+y+z\ne0 のとき & k=2 \\
x+y+z=0のとき　& k=-1 \\
\end{array}
\cdots （答）
\end{equation}