2011年 鳥取大学 文系
方程式 \( \sqrt[3]{x+9}-\sqrt[3]{x-9}=3 \) の \( x \) に対して、\( x^2 \) を求めよ。
解答
\( A=\sqrt[3]{x+9}, \ B=\sqrt[3]{x-9} \) とおくと
\begin{eqnarray}
A-B &=& 3 \\
A^3-B^3 &=& (x+9) -(x-9) = 18 \\
AB &=& \sqrt[3]{(x+9)(x-9)} = \sqrt[3]{x^2-81} \\
\end{eqnarray}
となる。ここで、
\begin{equation}
A^3-B^3 = (A-B)^3+3AB(A-B) \\
\end{equation}
と変形できるので、
\begin{equation}
18 = 3^3 + 3 \cdot \sqrt[3]{x^2-81} \cdot 3 \\
18=27+9\sqrt[3]{x^2-81} \\
\sqrt[3]{x^2-81} = -1 \\
x^2-81 = -1 \\
∴x^2=81 \cdots （答）
\end{equation}
