【問題】微分積分（2004年横浜国立大学）

【解説】

（1）の誘導があると簡単に解ける問題です。誘導が無くても解けるようにしておきたいですね。置換すると \( \frac{1}{\cos\theta} \) の積分となりますので、別解もしておきます。

誘導なしのパターンとして、2019年京都大学で出題されました。こちらも参照ください。

【解答】

（1）
\begin{eqnarray}
\left\{ \log(x+\sqrt{x^2+1}) \right\}^{\prime} &&= \frac{1+\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}} \\
&&= \frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}(x+\sqrt{x^2+1})} \\
&& = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \cdots （答）
\end{eqnarray}

（2）（1）の結果より
\begin{eqnarray}
\int_1^{\sqrt3} \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} &&= [ \log(x+\sqrt{x^2+1}) ]_1^{\sqrt3} \\
&&= \log(\sqrt3+\sqrt{3+1}) – \log(1+\sqrt{1+1}) \\
&&= \log(\sqrt3+2) – \log(\sqrt2+1) \\
&&= \log \frac{\sqrt3+2}{\sqrt2+1} \\
&&= \log \frac{(\sqrt3+2)(\sqrt2-1)}{(\sqrt2+1)(\sqrt2-1)} \\
&&= \log (\sqrt6-\sqrt3+2\sqrt2-2) \cdots （答）
\end{eqnarray}

【別解】

\( x=\tan \theta \) とおくと
\begin{equation}
dx= \frac{1}{\cos^2\theta} d\theta\\
\begin{array}{c|ccc}
x & 1 & \rightarrow & \sqrt3 \\
\hline
\theta & \frac{\pi}{4} & \rightarrow & \frac{\pi}{3}
\end{array}
\end{equation}
となるので
\begin{eqnarray}
\frac{1}{\sqrt{x^2+1}} &&= \frac{1}{\sqrt{\tan^2\theta+1}} \\
&&= \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{\cos^2\theta}}} \\
&&= \cos \theta \\
∴（与式） &&= \int_\frac{\pi}{4}^{\frac{\pi}{3}} \cos\theta \cdot \frac{1}{\cos^2 \theta} d\theta \\
&&= \int_\frac{\pi}{4}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\cos \theta} d\theta \\
&&= \int_\frac{\pi}{4}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos x}{\cos^2 x}dx \\
&&= \int_\frac{\pi}{4}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos x}{1 – \sin^2 x}dx \\
&&= \int_\frac{\pi}{4}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos x}{(1 – \sin x)(1 + \sin x)}dx \\
&&= \int_\frac{\pi}{4}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos x}{(1 – \sin x)(1 + \sin x)}dx \\
&&= \int_\frac{\pi}{4}^{\frac{\pi}{3}} \left( \frac{\cos x}{1 – \sin x} + \frac{\cos x}{1 + \sin x} \right)dx \\
&&= \frac{1}{2} \left[ – \log | 1 – \sin x | + \log | 1 + \sin x | \right]_\frac{\pi}{4}^{\frac{\pi}{3}} \\
&&= \frac{1}{2} \left\{ \left( – \log \left| 1- \frac{\sqrt3}{2} \right| + \log \left| 1+ \frac{\sqrt3}{2} \right| \right) \right. \\
&& \hspace{30pt} \left. – \left( – \log \left| 1- \frac{\sqrt2}{2} \right| + \log \left| 1+ \frac{\sqrt2}{2} \right| \right) \right\} \\
&&= \frac{1}{2} \left\{ \log \frac{2+\sqrt3}{2-\sqrt3} – \log \frac{2+\sqrt2}{2-\sqrt2} \right\} \\
&&= \frac{1}{2} \left\{ \log (2+\sqrt3)^2 – \log \frac{(2+\sqrt2)^2}{2} \right\} \\
&&= \frac{1}{2} \left\{ \log (2+\sqrt3)^2 – \log (\sqrt2+1)^2 \right\} \\
&&= \log (2+\sqrt3) – \log (\sqrt2+1) \\
&& = \log \frac{\sqrt3+2}{\sqrt2+1} \\
&&= \log \frac{(\sqrt3+2)(\sqrt2-1)}{(\sqrt2+1)(\sqrt2-1)} \\
&&= \log (\sqrt6-\sqrt3+2\sqrt2-2) \cdots （答）
\end{eqnarray}