【問題】定積分（2012年京都大）

【解説】

京大で出題された定積分の問題です。部分を積分を使います。被積分関数に対数を含むときは、対数を微分しましょう。

【解答】

\begin{eqnarray}
（与式） && = \int_1^{\sqrt3} \frac{1}{2} \frac{1}{x^2} \log (1+x^2) dx \\
&& = – \frac{1}{2} \int_1^{\sqrt3} \left( \frac{1}{x} \right)^{\prime} \log (1+x^2) dx \\
&& = -\frac{1}{2} \left[ \frac{1}{x}\log(1+x^2) \right]_1^{\sqrt3} + \frac{1}{2} \int_1^{\sqrt3} \frac{1}{x} \frac{2x}{1+x^2} dx \\
&& = -\frac{1}{2} \left( \frac{1}{\sqrt3} \log4 – \log2 \right) + \int_1^{\sqrt3} \frac{1}{1+x^2} dx \cdots ①
\end{eqnarray}
ここで \( x=\tan\theta \) とおくと
\begin{equation}
dx= \frac{1}{\cos^2 \theta} d\theta \\
\begin{array}{c|ccc}
x & 1 & \rightarrow & \sqrt3 \\
\hline
\theta & \frac{\pi}{4} &\rightarrow & \frac{\pi}{3}
\end{array}
\end{equation}
となるので
\begin{eqnarray}
\int_1^{\sqrt3} \frac{1}{1+x^2} dx &&= \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{1+\tan^2\theta} \cdot \frac{1}{\cos^2\theta} d\theta \\
&&= \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \cos^2\theta \cdot \frac{1}{\cos^2\theta} d\theta \\
&& = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} d\theta \\
&&= [\theta]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \\
&&= {\frac{\pi}{4}}-{\frac{\pi}{3}} = \frac{\pi}{12} \cdots ② \\
\end{eqnarray}
②を①に代入すると
\begin{eqnarray}
（与式） &&= -\frac{1}{2} \left( \frac{1}{\sqrt3} \log4 – \log2 \right) + \frac{\pi}{12} \\
&&= -\frac{1}{2} \left( \frac{2}{\sqrt3}-1 \right) \log2 + \frac{\pi}{12} \\
&&= \left( \frac{1}{2} – \frac{\sqrt3}{3} \right) \log2 + \frac{\pi}{12} \\
&&= \frac{3-2\sqrt3}{6}\log2 + \frac{\pi}{12} \cdots （答）
\end{eqnarray}