【問題】定積分（2005年横浜国立大）

【解説】

標準的な置換積分の問題です。計算過程で \( \displaystyle \frac{1}{t^2+1} \) の積分が出てきます。\( t=\tan\theta \) で置換するパターンです。すぐに解けるようにしておきましょう。

【解答】

\( e^x=t \) とおくと
\begin{equation}
e^xdx= dt \\
∴dx=\frac{1}{e^x}dt=\frac{1}{t}dt \\
\begin{array}{c|ccc}
x & 0 & \rightarrow & \frac{\log3}{2} \\
\hline
t & 1 & \rightarrow & \sqrt3
\end{array}
\end{equation}
となるので
\begin{eqnarray}
（与式） && = \int_1^{\sqrt3} \frac{t+1}{t^2+1} \cdot \frac{1}{t} dt \\
&& = \int_1^{\sqrt3} \frac{t+1}{t(t^2+1)} dt \cdots ①
\end{eqnarray}
ここで
\begin{eqnarray}
\frac{t+1}{t(t^2+1)} && = \frac{A}{t} + \frac{Bt+C}{t^2+1} \\
&& = \frac{(A+B)t^2+Ct+A}{t(t^2+1)}
\end{eqnarray}
両辺の係数を比較する
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{l}
A+B=0 \\
C=1 \\
A=1 \\
\end{array}
\right . \\
上記を解くと (A,B,C)=(1,-1,1)
\end{equation}
\begin{eqnarray}
∴\frac{t+1}{t(t^2+1)} && = \frac{1}{t} + \frac{-t+1}{t^2+1} \\
&& = \frac{1}{t} – \frac{t}{t^2+1} + \frac{1}{t^2+1} \cdots ②
\end{eqnarray}
②を①に代入すると
\begin{eqnarray}
（与式） && = \int_1^{\sqrt3} \left( \frac{1}{t} – \frac{t}{t^2+1} + \frac{1}{t^2+1} \right) dt \\
&& = \left[ \log|t| -\frac{1}{2} \log|t^2+1| \right]_1^{\sqrt3} + \int_1^{\sqrt3} \frac{1}{t^2+1} dt \\
&& = \log\sqrt3-\frac{1}{2}\log4+\frac{1}{2}\log2 + \int_1^{\sqrt3} \frac{1}{t^2+1} dt \\
&& = \frac{1}{2}\log3-\log2+\frac{1}{2}\log2 + \int_1^{\sqrt3} \frac{1}{t^2+1} dt \\
&& = \frac{1}{2}\log3-\frac{1}{2}\log2 + \int_1^{\sqrt3} \frac{1}{t^2+1} dt \cdots ③
\end{eqnarray}
ここで \( t=\tan\theta \) とおくと
\begin{equation}
dt=\frac{1}{\cos^2\theta}d\theta \\
\begin{array}
t & 1 & \rightarrow & \sqrt3 \\
\hline
\theta & \frac{\pi}{4} & \rightarrow & \frac{\pi}{3} \\
\end{array}
\end{equation}
となるので、
\begin{eqnarray}
\int_1^{\sqrt3} \frac{1}{t^2+1} dt && = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\tan^2\theta+1} \cdot \frac{1}{\cos^2\theta} d\theta \\
&& = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \cos^2\theta \frac{1}{\cos^2\theta} d\theta \\
&& = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} d\theta \\
&& = \left[ \theta \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \\
&& = \frac{\pi}{3} – \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12} \cdots ④
\end{eqnarray}
④を③に代入すると
\begin{eqnarray}
（与式）&& = \frac{1}{2}\log3-\frac{1}{2}\log2 + \frac{\pi}{12} \cdots （答）
\end{eqnarray}