【問題】複素数平面（2022年大阪大学）

【解説】

計算が煩雑なところがありますが、複素平面の図形としては、標準的な問題です。与えられた条件 ( 点 \( z \) ) を複素式であらわし、その関係式から \( w \) の条件式を求めます。その条件式から座標 \( (x,y) \) の関係を考えます。

【解答】

題意より
\begin{equation}
\left| z – \frac{3}{2} \right| = r \cdots ①
\end{equation}
ここで
\begin{equation}
z+w = zw \\
(w-1)z = w \\
z = \frac{w}{w-1} \cdots ② \\
（∵w=1とすると0=1となり不適）
\end{equation}
②を①に代入する
\begin{equation}
\left| \frac{w}{w-1} – \frac{3}{2} \right| = r \\
\left| \frac{2w-3(w-1)}{2(w-1)} \right| = r \\
\left| \frac{-w+3}{2(w-1)} \right| = r \\
|w-3| = 2r|w-1| \cdots ③
\end{equation}
ここで \( w=x+iy \) （\(x,y \) ：実数）とおく。③より
\begin{equation}
|x+iy-3| = 2r|x+iy-1| \\
|(x-3)+iy| = 2r|(x-1)+iy| \\
∴(x-3)^2+y^2 = 4r^2 \{ (x-1)^2+y^2 \} \\
x^2-6x+9+y^2 = 4r^2(x^2-2x+1+y^2) \\
(4r^2-1)x^2-(8r^2-6)x+4r^2-9+(4r^2-1)y^2 = 0 \cdots ④ \\
\end{equation}

i) \( \displaystyle r=\frac{1}{2} \) のとき
④より
$$ 4x-8=0 \Leftrightarrow x=2 $$

ii) \( \displaystyle r \ne \frac{1}{2} \) のとき
④より
\begin{equation}
x^2-\frac{2(4r^2-3)}{4r^2-1}x+\frac{4r^2-9}{r^2-1}+y^2 = 0 \\
\left(x-\frac{4r^2-3}{4r^2-1}\right)^2 + y^2 = \left(\frac{4r^2-3}{4r^2-1}\right)^2-\frac{4r^2-9}{4^2-1} \\
\left(x-\frac{4r^2-3}{4r^2-1}\right)^2 + y^2 = \frac{16r^2}{(4r^2-1)^2} \\
\end{equation}

i),ii) より \( w \) が描く図形は、
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle r=\frac{1}{2}のとき & 点2を通り虚軸に平行な直線 \\
\displaystyle r \ne \frac{1}{2}のとき & \displaystyle 点\frac{4r^2-3}{4r^2-1}を中心とし、半径が\frac{4r}{|4r^2-1|}の円 \\
\end{array}
\right .
\end{equation}