【問題】素数の整数問題（2014年一橋大学）

【解説】

素数を扱った整数問題です。初見では、どのように解けばよいか、なかなか、わかりません。今一度、素数について整理しておきましょう。

たとえば、偶数の中で素数になるのは \( 2 \) のみ。また \( 3 \) の倍数の中で素数になるのは \( 3 \) のみ。条件で値を絞り込むことができます。

【解答】

\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{cccc}
p & = & a-b-8 & \cdots ① \\
q & = & b-c-8 & \cdots ②
\end{array}
\right .
\end{equation}
とおく。\( q \) は素数だから②より
\begin{equation}
q \ge 2 \\
b-c-8 \ge 2 \\
∴b \ge c+10 \\
\end{equation}
\( c \) は素数で、\( c \ge 2 \) だから
\begin{equation}
b \ge 12
\end{equation}
よって \( b \) は素数だから、\( b \) は奇数となる。

また \( p \) は素数だから①より
\begin{equation}
p \ge 2 \\
a-b-8 \ge 2 \\
∴a \ge b+10 \\
\end{equation}
\( b \ge 12 \) だから
\begin{equation}
a \ge 12+10 = 22
\end{equation}
よって \( a \) は素数だから、\( a \) は奇数となる。

\( a,b \) はともに奇数だから、\( p=a-b-8 \) は偶数となる。さらに \( p \) は素数だから
\begin{equation}
a-b-8=2 \\
∴a=b+10 \cdots ③
\end{equation}

Ⅰ） \( c \gt 2 \) のとき
\( c \) は素数だから \( c \) は奇数となる。\( b \) も奇数だから、\( q=b-c-8 \) は偶数となる。さらに \( q \) は素数だから、
\begin{equation}
b-c-8=2 \\
∴b=c+10 \cdots ④
\end{equation}

ここで \( \mod3 \) を考える。
\begin{eqnarray}
a &=& b+10 = (c+10)+10 \\
&=& c+20 \\
&\equiv& c+2 \\[10pt]
b &=& c+10 \\
&\equiv& c+1 \\
\end{eqnarray}
\( a,b,c \) すなわち \( c+20,c+10,c \) のいずれかは \( 3 \) の倍数となる。いずれも素数だから、\( c=3 \) となる。③④より \( a=c+20=23 \)、\( b=c+10=13 \)

Ⅱ） \( c=2 \) のとき
②より
\begin{equation}
q=b-c-8=b-10 \\
∴b=q+10 \cdots ⑤
\end{equation}
③に⑤を代入すると
\begin{equation}
a=(q+10)+10=q+20 \cdots ⑥
\end{equation}
Ⅰ）と同様、\( a,b,q \) すなわち \( q+20,q+10,q \) のいずれかは \( 3 \) の倍数となる。いずれも素数だから、\( q=3 \) となる。⑤⑥より \( a=q+20=23 \)、\( b=q+10=13 \)

Ⅰ）Ⅱ）より
$$ (a,b,c) = (23,13,3), \ (23,13,2) \cdots （答） $$