【問題】分数関数の最大・最小値（1992年東工大）

【解説】

与えられた関数が \( 1 \) 以外の整数値をとらないためには、関数の最小値が \( 0 \) より大きく、最大値が \( 2 \) より小さくなればよいので、与えられた関数の増減を考えます。ただし、分母が \( 0 \) になる場合、分子も \( 0 \) にならなければ発散して、\( 1 \) 以外の整数値をとってしまいます。分母の値で場合分けして考えましょう。

【解答】

\( \displaystyle f(x)=\frac{x^2-2x+k^2}{x^2+2x+k^2} \) とおく。\( 1 \) 以外の整数値をとらないためには \( 0 < f(x) < 2 \) となる \( k \) の範囲を求めればよい。

i) 分母 \( x^2+2x+k^2=0 \cdots ① \) となるとき
①の判別式を \( D \) とおくと、①が実数解をもつためには \( D \ge 0 \) となるので、
\begin{equation}
D/4 = 1^2-1\cdot k^2 = 1-k^2 \ge 0 \\
∴ -1 \le k \le 1 \\
k \ge 0 だから \\
0 \le k \le 1 \cdots ②
\end{equation}
また①の解を求めると、
\begin{equation}
x=-1 \pm \sqrt{1-k^2} \cdots ③
\end{equation}
このとき \( f(x) \) の分子は、
\begin{eqnarray}
x^2-2x+k^2 &=& x^2+2x+k^2-4x \\
&=& 0 -4 ( -1 \pm \sqrt{1-k^2} ) \\
&=& 4 ( 1 \mp \sqrt{1-k^2} ) \ne 0
\end{eqnarray}
となる。\( x \rightarrow -1 \pm \sqrt{1-k^2} \) のとき \( f(x) \) は発散し、\( 1 \) 以外の整数値をとるため、不適。

ii) 分母 \( x^2+2x+k^2 \ne 0 \) となるとき
①を満たす実数解がないため、 \( D < 0 \) となるので
\begin{equation}
D/4 = 1-k^2 < 0 \\
∴ k<-1, \ k>1 \\
ここで k \ge 0 だから \\
k>1 \cdots ④
\end{equation}
次に \( f(x) \) の増減を考える。
\begin{eqnarray}
f^{\prime}(x) &=& \frac{(2x-2)(x^2+2x+k^2)-(x^2-2x+k^2)(2x+2)}{(x^2+2x+k^2)^2} \\
&=& \frac{4x^2-4k^2}{(x^2+2x+k^2)^2} \\
&=& \frac{4(x-k)(x+k)}{(x^2+2x+k^2)^2} \\
\end{eqnarray}
\( f^{\prime}(x)=0 \) とすると \( x = \pm k \) となる。
\begin{equation}
\begin{array}{c|ccccccc}
x & -\infty & \cdots & -k & \cdots & k & \cdots & \infty \\
\hline
f^{\prime}(x) & & + & 0 & – & 0 & + & \\
\hline
f(x) & 1 & \nearrow & 極大 & \searrow & 極小 & \nearrow & 1
\end{array} \\
\lim_{x \rightarrow \pm \infty} f(x) = \lim_{x \rightarrow \pm \infty} \frac{1-\frac{2}{x}+\frac{k^2}{x^2}}{1+\frac{2}{x}+\frac{k^2}{x^2}} =1 \\
f(-k) = \frac{(-k)^2-2(-k)+k^2}{(-k)^2+2(-k)+k^2} = \frac{k+1}{k-1} \\
f(k) = \frac{k^2-2k+k^2}{k^2+2k+k^2} = \frac{k-1}{k+1}
\end{equation}
\( 0 < f(x) < 2 \) となるためには、
\begin{equation}
f(-k) = \frac{k+1}{k-1} < 2 \\
∴k+1 < 2k-2 \Leftrightarrow k>3 \cdots ⑤ \\
f(k) = \frac{k-1}{k+1} > 0 \\
∴k-1>0 \Leftrightarrow k>1 \cdots ⑥ \\
⑤⑥を同時に満たすのは k>3 \cdots ⑦ \\
(上記は④を満たす)
\end{equation}

i),ii)より、\( k>3 \cdots （答）\)