次の定積分を求めよ
$$ \int_0^1 \left( x^2+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \right) \left( 1+\frac{x}{(1+x^2) \sqrt{1+x^2}} \right) dx $$
【解説】
粛々と定積分を計算する問題です。第3項では部分積分を使いますが、計算過程で第2項の結果を利用できます。以下の方法を使って置換積分します。
\begin{equation}
\begin{array}{cl}
\bullet & \left\{ \sqrt{f(x)} \right\}^{\prime} = \frac{1}{2\sqrt{f(x)}} \cdot f^{\prime}(x) \\
\bullet & \left\{ \{ f(x) \}^{-\frac{1}{2}} \right\}^{\prime} = -\frac{1}{2} \{ f(x) \}^{-\frac{3}{2}} \cdot f^{\prime}(x) \\
\bullet & a^2+x^2 の形は x=\tan\theta で置換
\end{array}
\end{equation}
【解答】
\begin{eqnarray}
（与式） &=&
\int_0^1 x^3 dx
+ \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} dx \\
&& \hspace{15pt} + \int_0^1 \frac{x^3}{(1+x)^{\frac{3}{2}}} dx
+ \int_0^1 \frac{x^2}{(1+x^2)^2} dx
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
（第1項） &=& \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_0^1 \\
&=& \frac{1}{3} \cdots ①
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
（第2項） &=& \int_0^1 \frac{(1+x^2)^{\prime}}{2\sqrt{1+x^2}} dx \\
&=& \left[ \sqrt{1+x^2} \right]_0^1 \\
&=& \sqrt{2}-1 \cdots ②
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\left\{ (1+x^2)^{-\frac{1}{2}} \right\}^{\prime} &=& -\frac{1}{2} (1+x^2)^{-\frac{3}{2}} \cdot 2x \\
&=& -x (1+x^2)^{-\frac{3}{2}}
\end{eqnarray}
だから
\begin{eqnarray}
（第3項） &=& – \int_0^1 x^2 \left\{ -x (1+x^2)^{-\frac{3}{2}} \right\} dx \\
&=& -\int_0^1 x^2 \left\{(1+x^2)^{-\frac{1}{2}} \right\}^{\prime} dx \\
&=& – \left[ x^2 (1+x^2)^{\frac{1}{2}} \right]_0^1 + 2 \int_0^1 x \cdot \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} dx \\
&=& -\frac{1}{\sqrt{2}} +2(\sqrt{2}-1) （∵②）\\
&=& \frac{3}{2}\sqrt{2}-2 \cdots ③
\end{eqnarray}
次に第4項の定積分で以下の置換を考える。
\begin{equation}
x=\tan \theta \\
dx = \frac{1}{\cos^2 \theta} d \theta \\
\begin{array}{c|ccc}
x & 0 & \rightarrow & 1 \\
\hline
\theta & 0 & \rightarrow & \frac{\pi}{4}
\end{array}
\end{equation}
上記より
\begin{eqnarray}
（第4項）&=& \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan^2\theta}{(1+\tan^2\theta)^2} \cdot \frac{1}{\cos^2\theta} d\theta \\
&=& \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} \cdot \cos^4\theta \cdot \frac{1}{\cos^2\theta} d\theta \\
&=& \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin^2\theta d\theta \\
&=& \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2}(1-\cos2\theta) d\theta \\
&=& \frac{1}{2} \left[ \theta – \frac{1}{2} \sin2\theta \right]_0^{\frac{\pi}{4}} \\
&=& \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{4} – \frac{1}{2} \right) \\
&=& \frac{\pi}{8} – \frac{1}{4} \cdots ④
\end{eqnarray}
①②③④より
\begin{eqnarray}
（与式）&=& \frac{1}{3} + ( \sqrt{2}-1 ) + \left( \frac{3}{2}\sqrt{2}-2 \right) + \left( \frac{\pi}{8} – \frac{1}{4} \right) \\
&=& \frac{5}{2}\sqrt{2} – \frac{35}{12} + \frac{\pi}{8} \cdots （答）
\end{eqnarray}
