【問題】複素数の多項式の計算（2021年慶応大学）

【解説】

複素数を含んだ多項式の計算です。（１）では \( \alpha^2+3\alpha+3=0 \) を利用し、\( \alpha \) の次数を下げます。ただ、n乗を計算できません。\( \alpha+1, \alpha+2 \) をドモアブルの定理を使うと表現できます。（２）も同様です。\(\alpha+1 \) を \( 3 \) 乗すると \( 1 \) になることを利用します。

【解答（１）】

\begin{eqnarray}
\alpha^2+3\alpha+3 &=& 0 \\
∴ \alpha^2+3\alpha+2 &=& -1
\end{eqnarray}

\begin{equation}
\begin{array}{l}
(\alpha+1)^2 (\alpha+2)^5 \\
\hspace{5pt} = \{ (\alpha+1)(\alpha+2) \}^2 (\alpha+2)^3 \\
\hspace{5pt} = (\alpha^2+3\alpha+2) (\alpha+2)^3 \\
\hspace{5pt} = (-1)^2 (\alpha+2)^3 \\
\hspace{5pt} = (\alpha^2+4\alpha+4) (\alpha+2) \\
\hspace{5pt} = \{(\alpha^2+3\alpha+3)+\alpha+1)\}(\alpha+2) \\
\hspace{5pt} = (\alpha+1)(\alpha+2) \\
\hspace{5pt} = \alpha^2+3\alpha+2 \\
\hspace{5pt} = -1 \cdots （ア）
\end{array}
\end{equation}

次に、\( \alpha^2+3\alpha+3 = 0 \) より \( \displaystyle
\alpha = \frac{-3\pm\sqrt{3}i}{2} \) だから、
\begin{eqnarray}
\alpha+2 &=& \frac{1\pm\sqrt{3}i}{2} \\
&=& \cos \left( \pm\frac{\pi}{3} \right) + i \sin \left( \pm\frac{\pi}{3} \right) \\
\alpha+3 &=& \frac{3\pm\sqrt{3}i}{2} \\
&=& \sqrt{3} \left\{ \cos \left( \pm\frac{\pi}{6} \right) + i \sin \left( \pm\frac{\pi}{6} \right) \right\} \\
\end{eqnarray}
となる。
\begin{equation}
\begin{array}{l}
(\alpha+2)^s(\alpha+3)^t \\
\displaystyle \hspace{5pt} = \left\{ \cos \left( \pm\frac{\pi}{3} \right) + i \sin \left( \pm\frac{\pi}{3} \right) \right\}^s \\
\displaystyle \hspace{25pt} \times ( \sqrt{3} )^t \left\{ \cos \left( \pm\frac{\pi}{6} \right) + i \sin \left( \pm\frac{\pi}{6} \right) \right\}^t \\
\displaystyle \hspace{5pt} = ( \sqrt{3} )^t \left\{ \cos \left( \pm \frac{2s+t}{6} \pi \right) + i \sin \left( \pm \frac{2s+t}{6} \pi \right) \right\} \\
\hspace{5pt} = 3
\end{array}
\end{equation}
よって
\begin{equation}
\begin{array}{l}
( \sqrt{3} )^t = 3 \cdots ① \\
\displaystyle \cos \left( \pm \frac{2s+t}{6} \pi \right) + i \sin \left( \pm \frac{2s+t}{6} \pi \right) = 1 \cdots ② \\
①より t=2 \\
②より \displaystyle \frac{2s+t}{6}\pi = 2n\pi（n：整数） \\
∴2s+t=12n \Leftrightarrow s=6n-1
\end{array}
\end{equation}
求める整数 \( s,t \) の組は、
$$ (s,t) = (6n-1,2) （n：整数） \cdots （イ） $$

【解答（２）】

\begin{equation}
\begin{array}{l}
(x+1)^3 (x+2)^2 \\
\hspace{5pt} = \{ (x+1)(x+2) \}^2 (x+1) \\
\hspace{5pt} = \{ (x^2+3x+3)-1 \}^2 (x+1) \\
\hspace{5pt} = \{ (x^2+3x+3)^2 – 2 (x^2+3x+3) +1 \}(x+1) \\
\hspace{5pt} = (x^2+3x+3) \{ (x^2+3x+3) -2 \}(x+1) + (x+1) \\
\hspace{5pt} = (x^2+3x+3)(x^2+3x+1)(x+1)+x+1
\end{array}
\end{equation}
よって、求める商は \( (x^2+3x+1)(x+1) \cdots （ウ）\)、余りは \( x+1 \ \cdots （エ）\)

次に
$$ (x+1)^{2021} = Q(x)(x^2+3x+3) +ax+b \cdots ① $$
とおく。①に \( x=\alpha \) を代入すると、
$$ (\alpha+1)^{2021} = a \alpha + b \cdots ② $$
ここで
\begin{eqnarray}
\alpha &=& \frac{-3\pm\sqrt{3}i}{2} \\
\alpha+1 &=& \frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2} \\
&=& \cos \left( \pm\frac{\pi}{3} \right) +i \sin \left( \pm\frac{\pi}{3} \right) \\
∴(\alpha+1)^3 &=& 1
\end{eqnarray}
だから
\begin{eqnarray}
(\alpha+1)^{2021} &=& (\alpha+1)^{673 \times 3 + 2} \\
&=& 1^{673} \cdot (\alpha+1)^2 \\
&=& \alpha^2+2\alpha+1 \\
&=& (-3\alpha-3)+2\alpha+1 \\
&=& -\alpha-2
\end{eqnarray}
②より
$$ -\alpha-2 = a \alpha +b $$
\( \alpha \) は複素数、\( a,b \) は実数だから
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{l}
a=-1 \\
b=-2
\end{array}
\right.
\end{equation}
求める余りは、\( -x-2 \cdots （エ） \)