数列の和の公式
覚えておく和\(\sum\)（シグマ）の公式として、以下のものがあります。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a & = & na \tag{1} \\
\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k & = & \frac{1}{2}n(n+1) \tag{2}\\
\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2 & = & \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \tag{3}\\
\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^3 & = & \left\{ \frac{1}{2}n(n+1) \right\}^2 \tag{4}
\end{eqnarray}
数列の和の公式の証明
式(1)(2)は等差数列の和からすぐに理解できますが、式(3)(4)はどうやって求めるのでしょうか。やり方だけでも覚えておくと便利です。
\(\sum k^2\)の公式の証明
連続する数の3乗の差、
$$ (k+1)^3 – k^3 = 3k^2 + 3k +1 $$
の\(k=1,2,\cdots,n\)の和を考えます。
\begin{eqnarray}
k=1のとき & 2^3 & – & 1^3 & = & 3 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1 + 1 \\
k=2のとき & 3^3 & – & 2^3 & = & 3 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2 + 1 \\
k=3のとき & 4^3 & – & 3^3 & = & 3 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3 + 1 \\
\cdots\cdots \\
k=nのとき & (n+1)^3 & – & n^3 & = & 3 \cdot n^2 + 3 \cdot n + 1 \\
\end{eqnarray}
辺々の和を計算すると、
\begin{align}
(n+1)^3-1^3 & = 3 \sum_{k=1}^{n} k^2 + 3 \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1 \\
(n+1)^3-1 & = 3 \sum_{k=1}^{n} k^2 + 3 \cdot \frac{1}{2}n(n+1) + n \\
∴ 3 \sum_{k=1}^{n} k^2 & = (n+1)^3-1 – 3 \cdot \frac{1}{2}n(n+1) – n \\
& = (n+1)^3 – \frac{3}{2}n(n+1) -(n+1) \\
& = \frac{1}{2}(n+1) \left\{ 2(n+1)^2 – 3n – 2 \right\} \\
& = \frac{1}{2}(n+1) ( 2n^2 + n ) \\
& = \frac{1}{2}n(n+1) ( 2n + 1 ) \\
∴ \sum_{k=1}^{n} k^2 & = \frac{1}{6}n(n+1) ( 2n + 1 )
\end{align}
と求めることができます。３乗の差の和から求めるといった流れを把握しておくと良いと思います。
\(\sum k^3\)の公式の証明
連続する数の4乗の差、
$$ (k+1)^4 – k^4 = 4k^3 + 6k^2 + 4k +1 $$
の\(k=1,2,\cdots,n\)の和を考えます。
\begin{eqnarray}
k=1のとき & 2^4 & – & 1^4 & = & 4 \cdot 1^3 + 6 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 + 1 \\
k=2のとき & 3^4 & – & 2^4 & = & 4 \cdot 1^3 + 6 \cdot 2^2 + 4\cdot 2 + 1 \\
k=3のとき & 4^4 & – & 3^4 & = & 4 \cdot 1^3 + 6 \cdot 3^2 + 4 \cdot 3 + 1 \\
\cdots\cdots \\
k=nのとき & (n+1)^4 & – & n^4 & = & 4 \cdot n^3 + 6 \cdot n^2 + 4 \cdot n + 1 \\
\end{eqnarray}
辺々の和を計算すると、
\begin{align}
(n+1)^4-1^4 & = 4 \sum_{k=1}^{n} k^3 + 6 \sum_{k=1}^{n} k^2 + 4 \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1 \\
∴ 4 \sum_{k=1}^{n} k^3 & = (n+1)^4 – 1 – 6 \cdot \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) – 4 \cdot \frac{1}{2}n(n+1) -n \\
& = (n+1)^4 – n(n+1)(2n+1) – 2n(n+1) – (n+1) \\
& = (n+1) \left\{ (n+1)^3 – n(2n+1) – 2n – 1 \right\} \\
& = (n+1) \left\{ (n+1)^3 – n(2n+1) – (2n+1) \right\} \\
& = (n+1) \left\{ (n+1)^3 – (n+1)(2n+1) \right\} \\
& = (n+1)^2 \left\{ (n+1)^2 – (2n+1) \right\} \\
& = n^2(n+1)^2 \\
∴ \sum_{k=1}^{n} k^3 & = \frac{1}{4}n^2(n+1)^2 \\
& = \left\{ \frac{1}{2}n(n+1) \right\} ^2
\end{align}
と求めることができます。４乗の差の和から求めるといった流れを把握しておくと良いと思います。
