【問題】合同式を使った問題（2021年京都工芸繊維大）

【解説】

実際の問題では、\( m \) が偶数、奇数で場合分けする誘導があります。わからないときは、まずは実験してみましょう。
\begin{array}{c|c|c}
m & m^{m-1}+1 & \mod 8 \\
\hline
1 & 2 & 2 \\
2 & 3 & 3 \\
3 & 10 & 2 \\
4 & 65 & 1 \\
5 & 626 & 2 \\
\end{array}
なんとなく、\( m \) が奇数の場合、余りが \( 2 \) になりそうですね。

【解答】

i)　\( m \) が奇数のとき、\( m = 2n+1 ( n \ge 0 ) \) とおけるので、
\begin{eqnarray}
m^{m-1} + 1 &=& (2n+1)^{(2n+1)-1} + 1 \\
&=& \left\{ (2n+1)^2 \right\}^n + 1 \\
&=& ( 4n^2 + 4n + 1 )^n + 1 \\
&=& \{ 4n(n+1) + 1 \}^n + 1 \cdots ① \\
\end{eqnarray}
連続する数はいずれか一方が偶数であるから、\( n(n+1) \) は偶数となる。よって、\( 4n(n+1) \) は \( 8 \) の倍数となるので、①より
\begin{eqnarray}
m^{m+1} &\equiv& 1^n+ 1 \ (\mod 8) \\
&=& 1+1 = 2
\end{eqnarray}

ii)　\( m \) が偶数のとき、\( m = 2n ( n \ge 1 ) \) とおけるので、
\begin{eqnarray}
m^{m-1} + 1 &=& (2n)^{2n-1} + 1 \\
&=& 2^{2n-1} \cdot n^{2n-1} + 1 \cdots ② \\
\end{eqnarray}
ここで \( 2n-1 \ge 3 \) すなわち、\( n\ge 2 \) のとき、\( 2^{2n-1} \) は \( 8 \) の倍数となるので、②は
\begin{eqnarray}
m^{m-1} + 1 &\equiv& 1 \ (\mod 8) \\
\end{eqnarray}
となる。また、\( 2n-1=1 \) すなわち、\( n=1 \Leftrightarrow m=2 \) のとき、②は、
\begin{eqnarray}
m^{m-1} + 1 &=& 2^1+1 \\
&=& 3 \equiv 3 \ (\mod 8)
\end{eqnarray}
以上より、求める余りは、
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{cl}
2 &（mが奇数のとき）\\
3 &（m=2のとき）\\
1 &（ｍが4以上の偶数のとき）\\
\end{array}
\right.
\end{equation}