\( \displaystyle S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{4n^2+k} \) のとき、\( \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} S_n \) を求めよ。
【解説】
数列の無限級数を求める問題です。一般的には、以下の方法があります。今回の問題では、①②で計算できないため、③の方法で考えます。
①一般項の和を求め、極値を考える
②区分級積分を使って積分計算する
③はさみうちの原理で極値を考える
【解答】
$$ S_n = \frac{1}{4n^2+1} + \frac{2}{4n^2+2} + \cdots + \frac{n}{4n^2+n} $$
ここで、\( S_n \) の分母がすべて \( 4n^2+1 \) の級数を \( T_n \)、分母がすべて \( 4n^2+n \) の級数を \( U_n \) とすると、
\begin{eqnarray}
T_n &=& \frac{1}{4n^2+1} + \frac{2}{4n^2+1} + \cdots + \frac{n}{4n^2+1} \\
U_n &=& \frac{1}{4n^2+n} + \frac{2}{4n^2+n} + \cdots + \frac{n}{4n^2+n}
\end{eqnarray}
となり、
$$ U_n < S_n < T_n \cdots ① $$
となる。
\begin{eqnarray}
T_n &=& ( 1 + 2 + \cdots + n ) \frac{1}{4n^2+1} \\
&=& \frac{1}{2}n(n+1) \frac{1}{4n^2+1} \\
&=& \frac{n(n+1)}{2(4n^2+1)} \\
∴ && \lim_{n \rightarrow \infty} T_n = \frac{1}{8} \cdots ② \\
U_n &=& ( 1 + 2 + \cdots + n ) \frac{1}{4n^2+n} \\
&=& \frac{1}{2}n(n+1) \frac{1}{4n^2+n} \\
&=& \frac{n+1}{2(4n+1)} \\
∴ && \lim_{n \rightarrow \infty} U_n = \frac{1}{8} \cdots ③ \\
\end{eqnarray}
①②③から、はさみうちの原理より、
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} S_n = \frac{1}{8} \cdots （答） $$
区分求積法
区分求積法についても復習しておきましょう。
＜区分求積法＞
\( a \le x \le b \) において連続な関数 \( y = f(x) \) に対して、
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^{n} f \left( a + (b-a) \frac{k}{n} \right) = \int_{a}^{b} f(x) dx $$
特に、\( a=0,\ b=1 \) のとき、
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}f \left( \frac{k}{n} \right) = \int_{0}^{1} f(x)dx $$
問題が \( \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{4n^2+k^2} \) だと、②の区分求積法で計算できます。\( \displaystyle \frac{1}{n},\ \frac{k}{n} \) の項を無理やりに作り出してやりましょう。 \( \displaystyle \frac{1}{n} \Rightarrow dx,\ \frac{k}{n} \Rightarrow x \) と置き換えます。
\begin{eqnarray}
\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{4n^2+k^2}
&=& \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{\frac{k}{n^2}}{4+(\frac{k}{n})^2} \\
&=& \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{\frac{k}{n}}{4+(\frac{k}{n})^2}
\end{eqnarray}
ここで \( \displaystyle f(x) =\frac{x}{4+x^2} \) とおくと、上記の式は、
\begin{eqnarray}
\int_{0}^{1} \frac{x}{4+x^2} dx
&=& \left[ \frac{1}{2} \log ( 4+x^2) \right]_{0}^{1} \\
&=& \frac{1}{2} ( \log 5 – 2 \log 2 ) \cdots （答）
\end{eqnarray}
