\( \alpha と \beta \) を実数とし、\( \alpha < 4,\ \beta \ne 4,\ \alpha < \beta \) を満たすとする。数列 \( \{ a_n \} \) を \( \displaystyle a_1 = 4,\ a_{n+1} = \frac{4 a_n + 10}{ a_n + 1} (n=1,2,\cdots) \) で定め、数列 \( \{ b_n \} \) を \( \displaystyle b_n = \frac{a_n – \beta}{a_n – \alpha} (n=1,2,\cdots) \) で定める。このとき、次の問に答えよ。
(1) \( \displaystyle \alpha = \frac{1}{5},\ \beta = \frac{6}{5} \) のとき、\( b_2 \) を求めよ。
(2) 数列 \( \{ b_n \} \) が等比数列となるような \( \alpha ,\ \beta \) を1組求めよ。
(3) (2)で求めた \( \alpha,\ \beta \) に対して、\( -10^{-78} < b_n < 10^{-78} \) となる最小の自然数 \( n \) を求めよ。ただし、\( \log_{10} 2 = 0.3010, \log_{10} 3 = 0.4771 \) とする。
【解答】
(1)
\begin{eqnarray}
a_2 &=& \frac{4a_1 + 10}{a_1 +1} = \frac{4 \cdot 4 +1}{4 + 1} = \frac{26}{5} \\
b_2 &=& \frac{a_2 – \frac{6}{5}}{a_2 – \frac{1}{5}} = \frac{5a_2 -6}{5a_2 – 1} = \frac{26-6}{26-1} \\
&=& \frac{4}{5} \cdots （答）
\end{eqnarray}
(2)
\begin{eqnarray}
b_{n+1} &=& \frac{a_{n+1} – \beta}{a_{n+1} – \alpha} \\
&=& \frac{ \displaystyle \frac{4a_n + 10}{a_n + 1} – \beta}{ \displaystyle \frac{4a_n + 10}{a_n + 1} – \alpha} \\
&=& \frac{4a_n + 10 – \beta(a_n + 1)}{4a_n + 10 – \alpha(a_n + 1)} \\
&=& \frac{(4-\beta)a_n + (10-\beta)}{(4-\alpha)a_n + (10-\alpha)} \\
&=& \frac{ 4-\beta }{ 4-\alpha } \cdot \frac{ \displaystyle a_n + \frac{ 10-\beta }{ 4-\beta }}{ \displaystyle a_n + \frac{ 10-\alpha }{ 4-\alpha }} \cdots ①
\end{eqnarray}
ここで \( \{ b_n \} \) が等比数列となるためには、
\begin{equation}
b_n = \frac{ \displaystyle a_n + \frac{ 10-\beta }{ 4-\beta }}{ \displaystyle a_n + \frac{ 10-\alpha }{ 4-\alpha }}
= \frac{a_n – \beta}{a_n – \alpha} \cdots ②
\end{equation}
②の分母の比較より
\begin{equation}
\frac{ 10-\alpha }{ 4-\alpha } = – \alpha \\
10-\alpha = – 4\alpha + \alpha^2 \\
\alpha^2 – 3\alpha – 10 = 0 \\
(\alpha – 5)(\alpha + 2) = 0
\end{equation}
\( \alpha < 4 \) だから \( \alpha = -2 \) となる。同様に②の分子の比較より
\begin{equation}
\frac{ 10-\beta }{ 4-\beta } = – \beta \\
(\beta – 5)(\beta + 2) = 0
\end{equation}
\( \alpha < \beta \) だから \( \beta = 5 \) となる。
以上より、\( (\alpha,\ \beta) = ( -2,\ 5 ) \cdots \)（答）
(3) (2)より \( (\alpha,\ \beta) = ( -2,\ 5 ) \) だから
\begin{eqnarray}
b_1 &=& \frac{a_1-\beta}{a_1+\alpha} = \frac{4-5}{4+2} = – \frac{1}{6} \\
\frac{4-\beta}{4-\alpha} &=& \frac{4-5}{4+2} = – \frac{1}{6}
\end{eqnarray}
\( \{ b_n \} \) は初項 \( -\frac{1}{6} \)、公比 \( -\frac{1}{6} \) の等比数列だから、
$$ b_n = \left( – \frac{1}{6} \right)^n $$
ここで、
\begin{equation}
-10^{-78} < b_n < 10^{-78} \\
∴|b_n| <10^{-78} \\
\left( \frac{1}{6} \right)^n < 10^{-78} \\
6^{-n} < 10^{-78} \\
両辺の底10の対数をとると \\
-n \log_{10} 6 < -78 \\
∴n > \frac{78}{\log_{10}6} \\
n > \frac{78}{\log_{10}2 + \log_{10}3} \\
n > 100.2
\end{equation}
\( n \) は自然数だから \( n \ge 101 \) となる。よって求める最小値は \( n = 101 \cdots \) （答）
