\(x\) に関する方程式 \( 4x^3-(a-2)x-(a+4)=0 \) （\(a\) は整数）が、整数でない正の有理数を解にもつとき、その解を求めよ。
【解答】
整数でない正の有理数の解を
$$ x=\frac{q}{p} \cdots ①$$
とおく。このとき、\(p\),\(q\)は互いに素な整数。①をもとの方程式に代入すると、
\begin{eqnarray}
4 \left( \frac{q}{p} \right)^3-(a-2) \left( \frac{q}{p} \right)-(a+4)=0 \\
4q^3-(a-2)p^2q-(a+4)p^3=0 \\
∴4q^3 = p^2 \{(a-2)q+(a+4)p \} \cdots ②
\end{eqnarray}
②より、\( 4q^3 \) は \( p^2 \) を約数にもつ。\(p,q \) は互いに素だから、\( p^2 \) は \( 4 \) の約数となり、\( p^2 =1,4\ \Leftrightarrow p=1,2 （∵p>0）\) となる。
i) \( p=1 \) のとき、\( a=q \) となり、\( a \) が整数となるため不適
ii) \( p=2 \) のとき、 ②より
\begin{eqnarray}
q^3 &=& (a-2)q+2(a+4) \\
(q+2)a &=& q^3+2q-8 \\
a &=& \frac{q^3+2q-8}{q+2} （∵q+2>0）\\
&=& q^2-2q+6-\frac{20}{q+2} \\
\end{eqnarray}
\( a \) は整数だから、\( \displaystyle \frac{20}{q+2} \) は整数とならなければならない。\( q+2 \) は \( 2 \) より大きい整数となるため、
\begin{equation}
q+2 = 4,5,10,20 \\
∴q=2,3,8,18
\end{equation}
ここで \(p,q \) は互いに素な数だから、\( q=3 \) のみとなる。よって求める整数では正の有理数の解は、
$$ x = \frac{3}{2} \cdots （答）$$
