任意の整数 \( n \) に対して、\( n^9-n^3 \) は \( 9 \) で割り切れることを示せ。
【解答】
$$ n^9-n^3 = n^3(n^6-1) \cdots ①$$
\( n \)を \( 9 \) で割ったときの余りで場合分けして考える。
i) \( n \equiv 0 (\mod9) \) のとき
\begin{eqnarray}
n^3 & \equiv & 0^3 = 0 \\
∴n^9-n^3 & \equiv & 0 \times (n^6-1) = 0
\end{eqnarray}
ii) \( n \equiv \pm1 (\mod9) \) のとき
\begin{eqnarray}
n^6-1 & \equiv & (\pm1)^6-1 = 0 \\
∴n^9-n^3 & \equiv & n^3 \times 0 = 0
\end{eqnarray}
iii) \( n \equiv \pm2 (\mod9) \) のとき
\begin{eqnarray}
n^6-1 & \equiv & (\pm2)^6-1 = 63 \equiv 0 \\
∴n^9-n^3 & \equiv & n^3 \times 0 = 0
\end{eqnarray}
iv) \( n \equiv \pm3 (\mod9) \) のとき
\begin{eqnarray}
n^3 & \equiv & (\pm3)^3 = \pm27 \equiv 0 \\
∴n^9-n^3 & \equiv & 0 \times (n^6-1) = 0
\end{eqnarray}
v) \( n \equiv \pm4 (\mod9) \) のとき
\begin{eqnarray}
n^6-1 & \equiv & (\pm4)^6-1 = 16^3 -1 \\
& \equiv & (-2)^3 -1 = -9 \equiv 0 \\
∴n^9-n^3 & \equiv & n^3 \times 0 = 0
\end{eqnarray}
i)～v)より、\( n^9-n^3 \equiv 0 (\mod9) \) となるので、\( n^9-n^3 \) は \( 9 \) で割り切れる。
