【問題】x^4+1/x^4 の値を求める対称式の問題です

【解答】
\begin{eqnarray}
x^3 + \frac{1}{x^3} & = & \left( x + \frac{1}{x} \right)^3 – 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x} \left( x + \frac{1}{x} \right) \\
& = & \left( x + \frac{1}{x} \right)^3 – 3 \left( x + \frac{1}{x} \right) \\
\end{eqnarray}
ここで、\( x + \frac{1}{x} = t \) とおくと、
\begin{equation}
52 = t^3 -3t \\
t^3 – 3t -52 = 0 \\
( t – 4 )( t^2 + 4t + 13 ) = 0 \\
∴ t = 4 \\
(ここで t^2+4t+13=(t+2)^2 + 9 \gt 0) \\
\end{equation}
だから
\begin{eqnarray}
x^4 + \frac{1}{x^4} & = & \left( x^2 + \frac{1}{x^2} \right)^2 – 2 \cdot x^2 \cdot \frac{1}{x^2} \\
& = & \left\{ \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 – 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} \right\}^2 – 2 \\
& = & \left\{ 4^2 – 2 \right\}^2 – 2 \\
& = & 194 \cdots （答）
\end{eqnarray}