nのn乗根の最大値

【解答】

$$ y=\sqrt[x]{x} $$
とおく(ただし \( x \gt 0 \) )。両辺の自然対数をとると、
$$ \log y= \frac{1}{x} \log x $$
両辺を \( x \) で微分すると、
\begin{eqnarray}
\frac{1}{y} \cdot y^{\prime} & = & – \frac{1}{x^2} \log x + \frac{1}{x^2} \\
y^{\prime} & = & \frac{\sqrt[x]{x} ( 1 – \log x )}{x^2} \\
\end{eqnarray}
だから
\begin{array}{c|cccc}
\hline
x & 0 & \cdots & e & \cdots \\
\hline
y^{\prime} & & + & 0 & – \\
\hline
y & & \nearrow & \text{最大} & \searrow \\
\hline
\end{array}
となり、\(e=2.731 \cdots\) だから、\(y\) は整数 \(n=2,3\) のいずれかで最大になる。
\(x=2\) のとき \(2^{\frac{1}{2}}\)、\(x=3\) のとき \(3^{\frac{1}{3}}\) だから、\(6\)乗して比較すると、
\begin{eqnarray}
(2^{\frac{1}{2}})^6=2^3=8 \\
(3^{\frac{1}{3}})^6=3^2=9 \\
∴(2^{\frac{1}{2}})^6 \lt (3^{\frac{1}{3}})^6 \\
2^{\frac{1}{2}} \lt 3^{\frac{1}{3}}
\end{eqnarray}
よって、\(n=3\) のとき最大となる。