高次方程式と因数定理

剰余定理と因数定理

高次方程式を解く場合、因数分解しなければなりません。その時に重要になってくるのが、因数定理です。改めて因数定理、剰余定理を確認しましょう。

剰余定理

多項式 $P(x)$ を $x-a$ でわったときの余りは $P(a)$ となる

因数定理

多項式 $P(x)$ が $x-a$ を因数にもつ $\Leftrightarrow$ $P(a) = 0$ となる
多項式 $P(x)$ を $ax-b$ を因数にもつ $\Leftrightarrow$ $ \displaystyle P \left( \frac{b}{a} \right) = 0$となる

$ P(x) $ を $ x-a $ で割ったときの商を $ Q(x) $、余りを $ R $ とすると、
$$ P(x)=(x-a)Q(x)+R \tag{1} $$
が成り立ちます。式(1)の両辺に $ x=a $ を代入すると、$ P(a)=R $ となり、$ P(a) $ は余りとなります。$ x-a $ で割り切れる場合は$ R=0 $ だから、$ P(a)=0 $ となります。

因数定理から $ P(\alpha)=0 $ を満たす $ \alpha $ を見つけることで、$ x-\alpha $ で割り切れる、すなわち、因数に持つことがわかります。$ P(\alpha)=0 $ を満たす $ \alpha $ を見つける方法として以下を利用します。

高次方程式の解

$ ax^3+bx^2+cx+d $ の解の候補は $ \displaystyle \pm \frac{dの約数}{aの約数} $
$ P(\alpha)=0 $ となるとき $ \alpha=\displaystyle \pm \frac{定数項の約数}{最高次の項の係数の約数} $ の中から見つける

例題１

$ x^5+3x^2 $ を $ (x-1)(x-2) $ で割ったときの余りを求めよ。

【解答】

$ P(x)=x^5+3x^2 $ とおき、求める余りを $ ax+b $ とおくと
$$ P(x) = x^5+3x^2 = (x-1)(x-2)Q(x)+ax+b \ \cdots \ ① $$
とおける。①に $ x=1,2 $ を代入すると、
$$ \left\{
\begin{array}{lll}
P(1) & =4=a+b & \cdots ② \\
P(2) & =44=2a+b & \cdots ③
\end{array}
\right. $$
②③から $ a=40, \ b=36$ となり、求める余りは $ 40x+36 $ となる。

例題２

$ x^5+3x^2 $ を $ (x-1)^2 $ で割ったときの余りを求めよ。

【解答１】

求める余りを $ ax+b $ とおくと
$$ x^5+3x^2 = (x-1)^2Q(x)+ax+b \ \cdots \ ① $$
とおける。①に $ x=1 $ を代入すると、
$$ 4 = a+b \ \cdots \ ② $$
ここで
\begin{array}{l}
①の右辺 & = (x-1)^2Q(x)+a(x-1)+a+b \\
& = (x-1) \left\{ (x-1)Q(x) + a \right\} + 4 \ \ (∵a+b=4) \\
①の左辺 & = (x-1)(x^4+x^3+x^2+4x+4)+4
\end{array}
上記から
\begin{array}{l}
(x-1) \left\{ (x-1)Q(x) + a \right\} + 4 & = & (x-1)(x^4+x^3+x^2+4x+4)+4 \\
(x-1)Q(x) + a & = & x^4+x^3+x^2+4x+4 \ \cdots \ ②
\end{array}
となる。②に $ x=1 $ を代入すると $ a = 11 $ となり、①より $ b = -7 $ となる。
よって、求める余りは $ 11x-7 $ となる。

【解答２】
微分を使って求めることもできます。こちらのほうが簡単かも。。。

$ f(x)が(x-a)^2 $ で割り切れるとき、$ f(a)=0 $ かつ $ f^{\prime}(a)=0 $

求める余りを $ ax+b $ とおくと
$$ x^5+3x^2 = (x-1)^2Q(x)+ax+b \ \cdots \ ① $$
①に $ x=1 $ を代入すると、
$$ 4 = a+b \ \cdots \ ② $$
ここで①の両辺を $ x $ で微分すると、
$$ 5x^4 + 6x = 2(x-1)Q(x) + (x-1)^2 Q^{\prime}(x) + a \ \cdots \ ③ $$
③に $ x=1 $ を代入すると $ 11=a $ となり、さらに②より $ b=-7 $ となる。
よって、求める余りは $ 11x-7 $ となる。