2021年 東京学芸大学
\( n+1, n^2+2,n^3+3, \cdots , n^k+k \) がすべて素数となるような自然数 \(n,k\) が存在するとき、\(k\) の最大値を求めよ。
【問題】
i) \( n=2l （l：自然数） \) のとき
$$ n+1=2l+1, \ n^2+2=4l^2+2 $$
\(4l^2+2\) は \(2\) より大きい偶数だから、条件を満たす \(n,k\) が存在するならば、\(k\) の最大値は \( k=1 \) となる。
ii) \( n=2l-1 （l；自然数） \) のとき
\( n+1=2l \) が素数となるのは \(2l=2\) のみとなり、このとき \( l=1, n=1 \) となる。
\(n=1\) のとき、
$$ n+1=2, \ n^2+2=3, \ n^3+3=4, \ \cdots $$
となり、\(k\) の最大値は \(k=2\)
i),ii)より \(k\) の最大値は \( k=2 \cdots （答）\)
