【問題】定積分（2008年関西大学）

【解説】

基本的な置換積分の問題です。これぐらいだと置換しなくても計算できるようにしたいですね。三角関数の倍角の公式（ \( \sin 2\theta = 2\sin\theta \cos \theta\) ）を使います。

【解答】

\( \sin x= t \) とおくと
\begin{equation}
\cos x dx = dt \\
\begin{array}{c|ccc}
x & 0 & \rightarrow & \frac{\pi}{2} \\
\hline
t & 0 & \rightarrow & 1
\end{array}
\end{equation}
となるので
\begin{eqnarray}
（与式） && = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{2 \sin x \cos x}{2+\sin^2x} dx \\
&& = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{2 \sin x}{\sin^2x +2} \cdot \cos x dx \\
&& = \int_0^1 \frac{2t}{t^2+2}dt \\
&& = [ \log |t^2+2| ]_0^1 \\
&& = \log3-\log2 = \log\frac{3}{2} \cdots （答）
\end{eqnarray}