\(n^3 -7n+9 \) が素数となるような整数 \(n\) をすべて求めよ。
【解説】
解法が思いつかない場合、与えられた式がどういった値をとるか、調べてみましょう（実験してみましょう）。
＜実験＞
\begin{array}{ll}
n=1のとき & \ 1^3-7\cdot1+9=3 \\
n=2のとき & \ 2^3-7\cdot2+9=3 \\
n=3のとき & \ 3^3-7\cdot3+9=15 \\
n=4のとき & \ 4^4-7\cdot4+9=237 \\
\cdots\cdots
\end{array}
と \( 3 \) の倍数になっています。\( 3 \) の倍数のうち、素数は \( 3 \) だけ。\( 3 \) の倍数であることを示せれば計算できそうです。
【解答】
\begin{array}{ll}
(1) & n \equiv 0 \text{のとき} \\
& n^3 -7n+9 \equiv 0^3 – 7 \cdot 0 + 0 \equiv 0 \\
(2) & n \equiv 1 \text{のとき} \\
& n^3 -7n+9 \equiv 1^3 – 7 \cdot 1 + 0 = -6 \equiv 0 \\
(3) & n \equiv 2 \text{のとき} \\
& n^3 -7n+9 \equiv 2^3 – 7 \cdot 2 + 0 = -6 \equiv 0
\end{array}
\( (1) \sim (3) \) より、\( n^3 -7n+9 \) は常に \( 3 \) の倍数となる。
\( n^3 -7n+9 \) が素数となるのは \( 3 \) のときだけだから、
\begin{array}{cc}
n^3 -7n+9 & = & 3 \\
n^3 -7n+6 & = & 0 \\
(n-1)(n-2)(n+3) & = & 0 \\[10pt]
n=1,2,-3 \cdots （答）
\end{array}
