次の定積分を求めよ。
（１）\( \displaystyle \int_{1}^{e} 5^{\log x} dx \)
（２）\( \displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x+1}{(x^2+1)^2}dx \)
【解説】
三角関数、指数関数の定積分です。以下の微分をしっかりと把握しておけば、標準的な問題ですね。（２）では三角関数の積を和に変換しなければなりません。倍角、半角の変形もしっかりと押さえておきましょう。
【指数関数、三角関数の微分】
\begin{eqnarray}
&& ( a^x )^{\prime} = a^x \cdot \log a \\
&& ( \tan x )^{\prime} = \frac{1}{\cos^2 x}
\end{eqnarray}
【\( \cos\theta, \ \tan\theta \) の関係】
\begin{eqnarray}
&& 1+\tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}
\end{eqnarray}
【倍角の公式】
\begin{eqnarray}
&& \sin2\theta = 2 \sin\theta \cos\theta \\
&& \cos2\theta = \cos^2\theta – \sin^2\theta \\
&& \hspace{20pt} = 2\cos^2\theta -1 = 1-2\sin^2\theta
\end{eqnarray}
【半角の公式】
\begin{eqnarray}
&& \cos^2\theta = \frac{1}{2}(1+\cos2\theta) \\
&& \sin^2\theta = \frac{1}{2}(1-\cos2\theta)
\end{eqnarray}
【解答】
（１） \( \log x = t \) とおくと \( x=e^t \)
$$ \frac{dx}{td} = e^t \Leftrightarrow dx = e^t dt $$
\begin{array}{c|ccc}
x & 1 & \rightarrow & e \\
\hline
t & 0 & \rightarrow & 1 \\
\end{array}
よって
\begin{eqnarray}
（与式） && = \int_{0}^{1} 5^t e^t dt \\
&& = \int_{0}^{1} ( 5e )^t dt \\
&& = \left[ \frac{1}{\log 5e } (5e)^t \right]_{0}^{1} \\
&& = \frac{5e – 1}{1+\log 5} \cdots （答）\\
\end{eqnarray}
（２）\( x= \tan \theta \) とおくと
\begin{equation}
\frac{dx}{d \theta} = \frac{1}{\cos^{2}\theta} \\
∴dx = \frac{1}{\cos^{2}\theta}d\theta \\
\begin{array}{c|ccc}
x & 0 & \rightarrow & 1 \\
\hline
\theta & 0 & \rightarrow & \frac{\pi}{4}
\end{array}
\end{equation}
となるので
\begin{eqnarray}
（与式） && = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan\theta+1}{(\tan^2\theta+1)^2} \cdot \frac{1}{\cos^2\theta} d\theta \\
&& = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\tan\theta+1) \left(\cos^2\theta \right)^2 \cdot \frac{1}{\cos^2\theta}d\theta \\
&& = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left( \frac{\sin\theta}{\cos\theta}+1 \right) \cos^2\theta d\theta \\
&& = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left( \sin\theta \cos\theta +\cos^2 \theta \right) d\theta \\
&& = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left\{ \frac{1}{2} \sin 2\theta + \frac{1}{2} ( 1 + \cos 2\theta ) \right\} d\theta \\
&& = \left[ -\frac{1}{4} \cos 2\theta + \frac{1}{2}\theta + \frac{1}{4} \sin 2\theta \right]_0^{\frac{\pi}{4}} \\
&& = \left( -0 + \frac{\pi}{8}+\frac{1}{4} \right) – \left( -\frac{1}{4} +0+0 \right) \\
&&= \frac{\pi}{8}+\frac{1}{2} \cdots （答）
\end{eqnarray}
