実数 \( a,b,c \) が
\begin{eqnarray}
&& a+b+c=8 \\
&& a^2+b^2+c^2=32
\end{eqnarray}
を満たすとき、実数 \( c \) の最大値を求めよ。
解説
\( a,b,c \) の対称式ではありますが、一般的な方法として、まずは \(a\) または \(b\) を消去しましょう。解答では \(a\) を消去しています。あとは \(b\) の2次方程式が実数解をもつことから判別式を考えます。
別解として、図形の性質を利用して、実数解を持つ（交点を持つ）条件からも求める方法を示します。
解答
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{ll}
a+b+c=8 & \cdots ①\\
a^2+b^2+c^2=32 & \cdots ② \\
\end{array}
\right.
\end{equation}
①より
$$ a=8-(b+c) \cdots ③ $$
③を②に代入する
\begin{equation}
\{ 8-(b+c) \}^2+b^2+c^2 = 32 \\
64-16(b+c)+(b+c)^2+b^2+c^2=32 \\
2b^2+2(c-8)b+2c^2-16c+32=0 \\
b^2+(c-8)c+c^2-8c+16=0 \cdots ④ \\
\end{equation}
\( b \) の2次方程式が実数解を持てばよいので、④の判別式を \( D \) とすると、
\begin{eqnarray}
D &=& (c-8)^2-4(c^2-8c+16) \\
&=& -3c^2+16c \\
&=& -c(3c-16) \ge 0 \\
\end{eqnarray}
\begin{equation}
∴ c(3c-16) \le 0 \\
0 \le c \le \frac{16}{3} \\
\end{equation}
よって求める最大値は \( \displaystyle \frac{16}{3} \cdots \)（答）
別解
\( c=k \) とすると、
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{ll}
a+b+k-8=0 & \cdots ①\\
a^2+b^2=32-k^2 & \cdots ② \\
\end{array}
\right.
\end{equation}
直線①と円②が交点を持てばよい。直線①と円②の中心\( (0,0) \) の距離が、円②の半径 \( \sqrt{32-k^2} \) 以下となるので、
\begin{equation}
\frac{|k-8|}{\sqrt{1^2+1^2}} \le \sqrt{32-k^2} \\
|k-8| \le \sqrt{2(32-k^2)} \\
両辺は正だから、両辺を2乗すると、\\
(k-8)^2 \le 2(32-k^2) \\
k^2-16k+64 \le 64-2k^2 \\
3k^2-16k \le 0 \\
k(3k-16) \le 0 \\
∴0 \le k \le \frac{16}{3} \\
\end{equation}
よっと、求める \(c\) の最大値は \( \displaystyle \frac{16}{3} \) （答）
