実数 \( a,b \) は \( a \ge1, \ b \ge 1, \ a+b=9 \) を満たす。
（１）\( \log_3 a + \log_3 b \) の最大値、最小値を求めよ。
（２）\( \log_2 a + \log_4 b \) の最大値、最小値を求めよ。
【解答】
（１）
\( b=9-a \ ( 1 \le a \le 8 ) \)
ここで、\( X = \log_3 a + \log_3 b \) とおくと
\begin{eqnarray}
X &=& \log_3 a + \log_3 (9-a) \\
&=& \log_3 a(9-a) \\
&=& \log_3 ( -a^2+9) \\
\end{eqnarray}
ここで \( f(a) = -a^2+9a \) とおくと
\begin{eqnarray}
f(a) = -\left(a-\frac{9}{2}\right)^2+\frac{81}{4}
\end{eqnarray}
\( 1 \le a \le 8 \) で \( f(a) \) の最大値は \( f(\frac{9}{2})=\frac{81}{4} \) 、最小値は \( f(1)=f(8)=8 \) となる。
よって\( X \) の最大値は、
$$ \log_3 \frac{81}{4} = \log_3 3^4 \cdot 2^{-2} = 4 – 2\log_3 2 \cdots （答）$$
\( X \) の最小値は、
$$ \log_3 8 = \log_3 2^3 = 3 \cdots （答）$$
（２）
\( Y = \log_2 a + \log_4 b \) とおくと
\begin{eqnarray}
Y &=& \log_2 a+\frac{\log_2 b}{\log_2 4} \\
&=& \frac{1}{2}\{2\log_2a+\log_2(9-a)\} \\
&=& \frac{1}{2}\log_2(-a^3+9a^2) \\
\end{eqnarray}
ここで \( g(a)=-a^3+9a^2 \) とおくと
\begin{equation}
g^{\prime}(a) = -3a^2+18a = -3a(a-6)
\end{equation}
\( 1 \le a \le 8 \) で \( g(a) \) の増減表は、
\begin{equation}
\begin{array}{c|ccccc}
a & 1 & \cdots & 6 & \cdots & 8 \\
\hline
g^{\prime}(a) & & + & 0 & – & \\
\hline
g(a) & 8 & \nearrow & 極大 & \searrow & 64
\end{array} \\
\begin{array}{l}
g(1)=-1^3+9 \times 1^2 = 8 \\
g(6)=-6^3+9 \times 6^2=(9-6)\times 6^2 =108 \\
g(8)=-8^3+9 \times 8^2 =(9-8) \times 8^2 = 64 \\
\end{array}
\end{equation}
となり、\( g(a) \) の最大値は \( g(6)=108 \)、最小値は \( g(1)=8 \) となる。
よって、\( Y \) の最大値は、
$$ \frac{1}{2} \log_2 108 = \frac{1}{2} \log_2 3^3 \times 2^2 = 1+\frac{3}{2} \log_2 3 \cdots （答） $$
\( Y \) の最小値は、
$$ \frac{1}{2} \log_2 8 = \frac{1}{2} \log_2 2^3 = \frac{3}{2} \cdots （答） $$
