【問題】x^2+y^2=2009^n を満たす正の整数 x,y を求める（2009年横浜国立大学）

【解説】

誘導がなく（４）だけだと、なかなか難しい問題です。（４）は数学的帰納法を使って証明します。（１）～（３）は確実に解答しましょう。

【問題】

（１）
\begin{equation}
x^2-y^2=2009 \\
(x-y)(x+y)=7^2 \times 41
\end{equation}
\( x,y \) は正の整数だから \( x-y < x+y \) となる。考えられる \( x-y,x+y \) の組は、
\begin{eqnarray}
(x-y,x+y) &=& (1,7^2\times41) \ (7,7\times41) \ (41,7^2) \\
&=&(1,2009) \ (7,287) \ (41,49) \\[10pt]
∴ (x,y) &=& (1005,1004) \ (147,140) \ (45,4) \cdots （答）
\end{eqnarray}

（２）
\begin{eqnarray}
x^2+y^2 &=& 41 \\
x^2 &=& 41-y^2 \\
∴x &=& \sqrt{41-y^2}（∵x>0）
\end{eqnarray}
ここで \( 41-y^2 \) は正でなければならないので、\( y \) のとりうる範囲は \( 1\le y \le 6 \) となる。
\begin{equation}
\begin{array}{c|c|c}
\hline
y & 41-y^2 & x \\
\hline
1 & 40 & 2\sqrt{10} \\
2 & 37 & \sqrt{37} \\
3 & 32 & 4\sqrt{2} \\
4 & 25 & 5 \\
5 & 16 & 4 \\
6 & 5 & \sqrt{5} \\
\hline
\end{array}
\end{equation}
以上から求める正の整数 \( x,y \) は、
$$ (x,y) = (4,5) \ (5,4) \cdots （答）$$

（３）
\begin{equation}
\begin{array}{l}
(ac-bd)^2+(ad+bc)^2 \\
\hspace{10pt} = ( a^2c^2-2abcd+b^2d^2 ) + ( a^2d^2+2abcd+b^2c^2 ) \\
\hspace{10pt} = a^2(c^2+d^2) + b^2(c^2+d^2) \\
\hspace{10pt} = ( a^2+b^2 )( c^2+d^2) \cdots （答）
\end{array}
\end{equation}

（４）
$$ x^2+y^2=2009^n \cdots ② $$
i) \( n=1 \) のとき
$$ x^2+y^2 = 2009 \cdots ③ $$
ここで（2）の結果から
\begin{eqnarray}
2009 &=& 7^2 \times 41 = 7^2 ( 4^2+5^2 ) \\
&=& (7\times4)^2+(7\times5)^2
\end{eqnarray}
となり、\( (x,y)=(28,35) \) のとき、③は成り立つ。

ii) \( n=k \) のとき
$$ x^2+y^2=2009^k \cdots ④ $$
④を満たす正の整数 \( x,y \) が存在すると仮定し、\( n=k+1 \) を考える。
④の両辺に \( 2009 \) をかけると
\begin{equation}
2009 ( x^2+y^2 ) = 2009^{k+1} \\
( 28^2+35^2 )( x^2+y^2 ) = 2009^{k+1} \\
( 35x-28y )^2 + ( 35x+28y )^2 = 2009^{k+1} \cdots ⑤ \\
（∵（3）の因数分解を利用）\\
\end{equation}
ここで \( x>y \) としても一般性を失わない。\( 35x-28y>0, 35x+28y>0 \) となり、⑤の結果から②を満たす正の整数は存在する。
i),ii)より数学的帰納法が成り立ち、②の満たす正の整数 \( x,y \) は存在する。