\( a,b \) は正の整数とする。このとき、
(1) \( \sqrt{2} \) が \( \displaystyle \frac{b}{a} \) と \( \displaystyle \frac{2a+b}{a+b} \) との間にあることを示せ。
(2) \( \sqrt{2} \) は \( \displaystyle \frac{b}{a} \) と \( \displaystyle \frac{2a+b}{a+b} \) のどちらに近いか。
【解説】
大小を比較する問題です。比較したい値の差を計算し、その結果の正負で大小関係を決定できますね。
【解答】
(1) \( \sqrt{2} \) が \( \displaystyle \frac{b}{a} \) と \( \displaystyle \frac{2a+b}{a+b} \) の間にあるならば、\( \displaystyle \sqrt{2}-\frac{b}{a} \) と \( \displaystyle \sqrt{2}-\frac{2a+b}{a+b} \) が異符号になるので、
\begin{equation}
\left( \sqrt{2}-\frac{b}{a} \right) \left( \sqrt{2}-\frac{2a+b}{a+b} \right) < 0
\end{equation}
を示せばよい。
\begin{equation}
\begin{array}{l}
\displaystyle \left( \sqrt{2}-\frac{b}{a} \right) \left( \sqrt{2}-\frac{2a+b}{a+b} \right) \\
\displaystyle = 2-\sqrt{2} \left( \frac{b}{a} + \frac{2a+b}{a+b} \right) + \frac{b}{a} \cdot \frac{2a+b}{a+b} \\
\displaystyle = 2-\sqrt{2} \cdot \frac{2a^2+2ab+b^2}{a(a+b)} + \frac{2ab+b^2}{a(a+b)} \\
\displaystyle = \frac{1}{a(a+b)} \left( 2a^2+2ab -2\sqrt{2}a^2- 2\sqrt{2}ab – \sqrt{2}b^2+2ab+b^2 \right) \\
\displaystyle = \frac{1}{a(a+b)} \{ 2(1-\sqrt{2})a^2 – 2\sqrt{2}(1-\sqrt{2})ab+(1-\sqrt{2})b^2 \} \\
\displaystyle =\frac{1-\sqrt{2}}{a(a+b)}(2a^2-2\sqrt{2}ab+b^2) \\
\displaystyle = \frac{(1-\sqrt{2})(\sqrt{2}a-b)^2}{a(a+b)} < 0 \\
( ∵1-\sqrt{2}<0, \ (\sqrt{2}a-b)^2>0, \ a>0, \ a+b>0 )
\end{array}
\end{equation}
よって、\( \sqrt{2} \) は \( \displaystyle \frac{b}{a} \) と \( \displaystyle \frac{2a+b}{a+b} \) との間にある。
(2) \( \sqrt{2} \) と \( \displaystyle \frac{b}{a} \) 、 \( \displaystyle \frac{2a+b}{a+b} \) の近さは、\( \displaystyle \left| \frac{b}{a}-\sqrt{2} \right| \) と \( \displaystyle \left| \frac{2a+b}{a+b}-\sqrt{2} \right| \) の大小を比較すればよい。
\begin{equation}
\begin{array}{l}
\displaystyle \left| \frac{b}{a}-\sqrt{2} \right| = \left| \frac{b-\sqrt{2}a}{a} \right| \\
\displaystyle = \frac{1}{a} \left| b-\sqrt{2}a \right| \\
(∵a>0) \\
\displaystyle = \frac{1}{a} \left| \sqrt{2}a-b \right| \cdots ① \\[15 pt]
\displaystyle \left| \frac{2a+b}{a+b}-\sqrt{2} \right|
= \left| \frac{2a+b-\sqrt{2}(a+b)}{a+b} \right| \\
\displaystyle = \left| \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)a-(\sqrt{2}-1)b}{a+b} \right| \\
\displaystyle = \left| \frac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}a-b)}{a+b} \right| \\
\displaystyle = \frac{\sqrt{2}-1}{a+b} | \sqrt{2}a-b | \cdots ② \\
(∵\sqrt{2}-1>0,\ a+b>0)
\end{array}
\end{equation}
①②の大小は \( \displaystyle \frac{\sqrt{2}-1}{a+b} \) と \( \displaystyle \frac{1}{a} \) の大小で決まる。
\begin{eqnarray}
\frac{1}{a} – \frac{\sqrt{2}-1}{a+b}
&=& \frac{(a+b)-(\sqrt{2}-1)a}{a(a+b)} \\
&=& \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)a+b}{ a(a+b) } > 0 \cdots ③ \\
（∵ && \sqrt{2}-1>0,\ a>0,\ b>0）
\end{eqnarray}
よって③より
$$ \frac{1}{a} > \frac{\sqrt{2}-1}{a+b} $$
となり、①＞②となるので、\( \sqrt{2} \) は、\( \displaystyle \frac{2a+b}{a+b} \) に近い。
