【問題】正の実数 x, y に対して、不等式が常に成り立つ k の条件を求める（1995年 東大）

【解説】

すべての正の実数 \( x, y \) に対して、不等式が常に成り立つ \( k \) の条件を求める問題です。 \( k \) と \( x,y \) を分離して表現しましょう。その際、\( x \) と \( y \) が独立して動くとわかりづらいので、1つにまとめると計算しやすくなります。

【解答】

\begin{equation}
\sqrt{x} + \sqrt{y} \le k \sqrt{2x+y} \ (x>0,y>0) \cdots ① \\
\end{equation}
\( \sqrt{x} > 0 \) だから、①の両辺を \( \sqrt{x} \) で割ると、
\begin{equation}
1+\sqrt{\frac{y}{x}} \le k \sqrt{2+\frac{y}{x}} \cdots ② \\
\end{equation}
ここで、\( t=\sqrt{\frac{y}{x}} \ (t>0) \) とおくと、②より、
\begin{eqnarray}
1+t &\le& k \sqrt{2+t^2} \\
k &\ge& \frac{1+t}{\sqrt{2+t^2}} \cdots ③ \ (∵ \sqrt{2+t^2}>0) \\
\end{eqnarray}
③の右辺を \( f(t) \) とおくと、すべての正の \( t \) に対して③の不等式が成り立つためには、\( f(t) \) の最大値が \( k \) の最小値となればよい。
\begin{eqnarray}
f(t) &=& \frac{1+t}{\sqrt{2+t^2}} \\
f^{\prime}(t) &=& \frac{1}{\sqrt{2+t^2}}-(1+t)\frac{2t}{2(1+t^2)^{\frac{3}{2}}} \\
&=& \frac{(2+t^2)-t(1+t)}{(2+t^2)^{\frac{3}{2}}} \\
&=& \frac{2-t}{(2+t^2)^{\frac{3}{2}}}
\end{eqnarray}
\( f^{\prime}(t) = 0 \) のとき \( t=2 \) となる。\( t>0 \) の範囲で増減表は、
\begin{array}{c|c|c|c}
\hline
x & 0 & \cdots & 2 & \cdots \\
\hline
f^{\prime}(t) & & + & 0 & -\\
\hline
f(t) & & \nearrow & 極大 & \searrow \\
\hline
\end{array}
となり、\( f(t) \) の最大値は \( f(2) \) となる。以上より、
\begin{equation}
k \ge f(2) = \frac{3}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{2} \\
\end{equation}
となり、求める \( k \) の最小値は \( \displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2} \cdots （答）\)

【別解】微分を使わずにf(t)の最大値を求める

本問題は文理共通問題です。\( f(t) \) の最大値は微分を使わずに求めることができます。
\begin{equation}
f(t) = \frac{1+t}{\sqrt{2+t^2}}
\end{equation}
\( u=1+t \) とおくと、\( t>0 \Leftrightarrow u>1 \)
\begin{eqnarray}
f(t) &=& \frac{u}{\sqrt{2+(u-1)^2}} \\
&=& \frac{u}{\sqrt{3-2u+u^2}} \\
&=& \frac{1}{\sqrt{\frac{3}{u^2}-\frac{2}{u}+1}} \\
&=& \frac{1}{\sqrt{3(\frac{1}{u}-\frac{1}{3})^2 + \frac{2}{3}}} \\
\end{eqnarray}
\( f(t) \) は \( \frac{1}{u}=\frac{1}{3} \Leftrightarrow u=3 \Leftrightarrow t=2 \) のとき、最大値となる。
よって、\( f(t) \) の最大値は \( \displaystyle f(2) = \frac{\sqrt{6}}{2} \)