【問題】2020で割り切れる100桁の正の整数を求める（2020年一橋大学）

【解答】
（１） \( 2020 \) で割った余り \( (\mod 2020) \) を考える。
\begin{eqnarray}
10^4 &=& 10000 \equiv -100 = – 10^2 \\
10^{10} &=& ( 10^4 )^2 \cdot 10^2 \equiv ( -10^2 )^2 \cdot 10^2 \\
&=& 10^4 \cdot 10^2 \equiv ( -10^2 ) \cdot 10^2 \\
&=& -10^4 \equiv -( -10^2) \\
&=& 100
\end{eqnarray}
よって、 \( 10^{10} \) を \( 2020 \) で割った余りは \( 100 \) となる。

（２） \( 100 \) 桁の正の整数で各位の和が \( 2 \) の数を考える。\( 100 \) 桁目が \( 1 \) または \( 2 \) でなければならないので、
\begin{eqnarray}
a_1 &=& 1 \underbrace{00 \cdots 001}_{99個} = 10^{99} + 10^0 \\
a_2 &=& 1 \underbrace{00 \cdots 010}_{99個} = 10^{99} + 10^1 \\
a_3 &=& 1 \underbrace{00 \cdots 100}_{99個} = 10^{99} + 10^2 \\
&& \cdots \\
a_i &=& 1 \underbrace{00 \cdots 010 \cdots 000}_{99個} = 10^{99} + 10^{i-1} \\
&& \cdots \\
a_{100} &=& 2 \underbrace{00 \cdots 000}_{99個} = 10^{99} + 10^{99} \\
\end{eqnarray}
となる。これらが、\( 2020 \) で割り切れるためには、
\begin{eqnarray}
a_i = 10^{99} + 10^{i-1} \equiv 0 \cdots ①
\end{eqnarray}
とならなけばならない。ここで、
\begin{eqnarray}
10^{99} &=& (10^{10})^9 \cdot 10^9 \equiv 100^9 \cdot10^9 \\
&=& 10^{27} = ( 10^{10})^2 \cdot 10^7 \equiv 100^2 \cdot 10^7 \\
&=& 10^{11} = 10^{10} \cdot 10 \equiv 100 \cdot 10 \\
&=& 1000
\end{eqnarray}
よって、①より \( 10^{i-1} \equiv -1000 \cdots ② \) でなければならない。ここで、
\begin{eqnarray}
10^4 &\equiv& -100 \\
10^5 &=& 10^4 \cdot 10 \equiv -1000 \\
10^6 &=& 10^5 \cdot 10 \equiv -10000 \equiv -(-100) = 100 \\
10^7 &=& 10^6 \cdot 10 \equiv 100 \cdot 10 = 1000 \\
10^8 &=& 10^7 \cdot 10 \equiv 10000 = -100 \\
10^9 &=& 10^8 \cdot 10 \equiv -1000 \\
&& \cdots
\end{eqnarray}
と繰り返されるので、
\begin{equation}
10^{i-1} = \left\{
\begin{array}{ll}
-100 & (i-1=4k) \\
-1000 & (i-1=4k+1) \\
100 & (i-1=4k+2) \\
1000 & (i-1=4k+3) \\
\end{array}
\right.
\end{equation}
となり、\( i-1 = 4k+1 \) のとき②が成り立つ。
\begin{eqnarray}
i-1 &=& 4k+1 = 5,9,\cdots,97 \\
∴k &=& 1,2,\cdots,24
\end{eqnarray}
よって、\( 2020 \) で割り切れる整数は \( 24 \) 個となる。