$$ \frac{2379}{3355} $$
【解答】
約分する問題ですが、分母と分子の最大公約数を求める問題ですね。となれば、使うのはユークリッドの互除法です。ユークリッド互除法はこちらのページも参照してみてください。
ユークリッド互除法を使って、\( 3355 \) と \( 2379 \) の最大公約数を考える。
\begin{eqnarray}
3355 &=& 1 \times 2379 + 976 \\
2379 &=& 2 \times 976 + 427 \\
976 &=& 2 \times 427 + 122 \\
427 &=& 3 \times 122 + 61 \\
122 &=& 2 \times 61
\end{eqnarray}
以上より、\( 3355 \) と \( 2379 \) の最大公約数は \( 61 \) となり、因数に \( 61 \) をもつので、
\begin{equation}
\frac{2379}{3355} = \frac{ 61 \times 39 }{ 61 \times 55 } = \frac{39}{55} \cdots （答）
\end{equation}
【別解】
約数を考える場合、なるべく小さい数字のほうが考えすく、さらに偶数のほうがより考えやすいです。そこで以下を使って約数を考えてみましょう。
$$ \frac{n}{m} が約分可能 \Leftrightarrow 1 – \frac{n}{m} が約分可能 $$
\begin{eqnarray}
1 – \frac{2379}{3355} &=& \frac{976}{3355}
\end{eqnarray}
分子は簡単に素因数分解できますね。\( 976 = 2^4 \times 61 \) となります。ここから、分母の \( 3355 \) も \( 61 \) を因数に持つことが推測でき、\( 3355 = 55 \times 61 \) となることがわかります。
\begin{eqnarray}
1 – \frac{2379}{3355} &=& \frac{ 2^4 \times 61 }{ 55 \times 61 } = \frac{16}{55} \\
∴\frac{2379}{3355} &=& 1 – \frac{16}{55} \\
&=& \frac{39}{55} \cdots （答）
\end{eqnarray}
【問題】以下の分数を約分せよ。
$$ \frac{10033}{12877} $$
【解答①】ユークリッドの互除法を使って分母分子の最大公約数を考える。
\begin{eqnarray}
12877 &=& 1 \times 10033 + 2844 \\
10033 &=& 8 \times 2844 + 1501 \\
2844 &=& 1 \times 1501 + 1343 \\
1501 &=& 1 \times 1343 + 158 \\
1343 &=& 8 \times 158 + 79 \\
158 &=& 2 \times 79
\end{eqnarray}
\( 2877 \) と \( 10033 \) の最大公約数は \( 79 \) だから、
\begin{eqnarray}
\frac{10033}{12877} &=& \frac{79 \times 127}{79 \times 163} \\
&=& \frac{127}{163} \cdots （答）
\end{eqnarray}
【解答②】
\begin{eqnarray}
1 – \frac{10033}{12877} &=& \frac{2844}{12877} = \frac{2^2 \cdot 3^2 \cdot79}{79 \cdot 163} \\
&=& \frac{36}{163} \\
∴\frac{10033}{12877} &=& 1 – \frac{36}{163} \\
&=& \frac{127}{163} \cdots （答）
\end{eqnarray}
