\( a\) は \( 0 \) でない実数とする。関数
$$ f(x) = (3x^2-4) \left( x-a+\frac{1}{a} \right) $$
の極大値と極小値の差が最小となる \( a \) の値を求めよ。
【解答】
\begin{eqnarray}
f(x) & = & (3x^2-4) \left( x-a+\frac{1}{a} \right) \ ( a \ne 0 ) \\
f^{\prime}(x) & = & 6x \left( x-a+\frac{1}{a} \right) + (3x^2-4) \\
& = & 9x^2 – 6 \left( a-\frac{1}{a} \right)x – 4 \cdots ①
\end{eqnarray}
ここで、\( f^{\prime}(x)=0 \) の判別式 \( D \) とすると、
\begin{equation}
\frac{D}{4} = 9 \left( a-\frac{1}{a} \right)^2 + 36 > 0
\end{equation}
だから、\( f^{\prime}(x)=0 \) は異なる2つの実数解 \( \alpha,\ \beta ( \alpha < \beta) \) をもつ
\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
\hline
x & \cdots & \alpha & \cdots & \beta & \cdots \\
\hline
f^{\prime}(x) & + & 0 & – & 0 & + \\
\hline
f(x) & \nearrow & 極大 & \searrow & 極小 & \nearrow \\
\hline
\end{array}
求める極大値と極小値の差を \( g(a) \) とおくと、
\begin{eqnarray}
g(a) &=& f(\alpha)-f(\beta) \\
&=& \int_{\beta}^{\alpha} f^{\prime}(x)dx \\
&=& – \int_{\alpha}^{\beta} f^{\prime}(x)dx \\
&=& – \int_{\alpha}^{\beta} 9(x-\alpha)(x-\beta)dx \\
&=& -9 \times \left\{ -\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3 \right\} \\
&=& \frac{3}{2}(\beta-\alpha)^3 \cdots ②
\end{eqnarray}
ここで、\( f^{\prime}(x)=0 \) の解と係数の関係より、
\begin{equation}
\alpha+\beta=\frac{2}{3} \left( a-\frac{1}{a} \right) \\
\alpha \beta = -\frac{4}{9}
\end{equation}
だから、
\begin{eqnarray}
(\beta-\alpha)^2 &=& (\alpha+\beta)^2 -4 \alpha \beta \\
&=& \frac{4}{9} \left( a-\frac{1}{a} \right)^2 + \frac{16}{9} \\
&\ge& \frac{16}{9} \\
∴\beta-\alpha &\ge& \frac{4}{3} (∵\beta > \alpha)
\end{eqnarray}
上記は\( a=\frac{1}{a}、すなわち a = \pm 1 \) のときに等号が成立する。②より、
\begin{eqnarray}
g(a) &=& \frac{3}{2}(\beta-\alpha)^3 \\
&\ge& \frac{3}{2} \left( \frac{4}{3} \right)^3 \\
&=& \frac{32}{9}
\end{eqnarray}
となり、\(g(a)\) が最小となるのは \( a=\pm1 \) となる。
【補足】②は積分の公式ですが、計算できるようにしておきましょう。
\begin{array}{l}
\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta)dx \\
= \displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha) \left\{(x-\alpha)-(\beta-\alpha) \right\}dx \\
= \displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \left\{(x-\alpha)^2-(\beta-\alpha)(x-\alpha) \right\}dx \\
= \displaystyle \left[ \frac{1}{3}(x-\beta)^3 – \frac{1}{2}(\beta-\alpha)(x-\beta)^2 \right]_{\alpha}^{\beta} \\
= \displaystyle \frac{1}{3}(\beta-\alpha)^3 -\frac{1}{2}(\beta-\alpha)^3 \\
= \displaystyle -\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3
\end{array}
