【問題】(x^100+1)^100+(x^2+1)^100+1が x^2+x+1で割り切れるか？

【解答】
方程式 \( x^2+x+1=0 \) を解くと、\( x= \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2} \) となる。共役な複素数の解を \( \omega, \bar{\omega} \) とすると、
$$ x^2 + x + 1 = ( x- \omega) ( x – \bar{\omega} ) \cdots ①$$
また、
\begin{eqnarray}
(\omega – 1 ) ( \omega^2 + \omega + 1 ) & = & \omega^3 -1 = 0 \\
∴ \omega^3 & = & 1
\end{eqnarray}
となり、さらに
$$
|\omega|^2 = \omega \cdot \bar{\omega} = 1 より、 \omega = \frac{1}{\bar{\omega}} \\
\omega^3 = 1 より、 \omega^2 = \frac{1}{\omega} = \bar{\omega} \\
\omega^2 + \omega + 1 = 0 より、\omega + 1 = \omega^2、\omega^2 + 1 = – \omega
$$
ここで、\( f(x) = (x^{100}+1)^{100} + (x^2+1)^{100} + 1 \) とおくと、
\begin{array}{ccl}
f(\omega) & = & (\omega^{100}+1)^{100} + (\omega^2+1)^{100} + 1 \\
\omega^{100} & = & (\omega^3)^{33} \cdot \omega = 1^{33} \cdot \omega = \omega \\
(\omega^{100} + 1 )^{100} & = & (\omega+1)^{100} = (- \omega^2)^{100} \\
& = & \omega^{200} = (\omega^3)^{66} \cdot \omega^2 = \omega^2 \\
(\omega^2+1)^{100} & = & (-\omega)^{100} = \omega^{100} \\
& = & (\omega^3)^{33} \cdot \omega = 1^{33} \cdot \omega = \omega \\

∴f(\omega) & = & \omega^2 + \omega + 1 = 0 \cdots ②
\end{array}
同様に、
\begin{array}{ccl}
f(\bar{\omega}) & = & (\bar{\omega}^{100}+1)^{100} + (\bar{\omega}^2+1)^{100} + 1 \\
\bar{\omega}^{100} & = & (\omega^2)^{100} = \omega^{200} \\
& = & (\omega^3)^{66} \cdot \omega^2 = \omega^2 \\
(\bar{\omega}^{100} + 1 )^{100} & = & (\omega^2+1)^{100} = (- \omega)^{100} \\
& = & \omega^{100} = (\omega^3)^{33} \cdot \omega = \omega \\
(\bar{\omega}^2+1)^{100} & = & (\omega^4 + 1)^{100} = (\omega+1)^{100} \\
& = & ( -\omega^2 )^{100} = \omega^{200} \\
& = & ( \omega^3)^{66} \cdot \omega^2 = \omega^2 \\

∴f(\bar{\omega}) & = & \omega + \omega^2 + 1 = 0 \cdots ③
\end{array}
②③より、\( f(x) \) は \( x- \omega、 x – \bar{\omega} \) を因数にもつので、\( f(x) \) は \( ( x – \omega) ( x – \bar{\omega} ) = x^2 + x + 1 \) で割り切れる。