\( \displaystyle \alpha = \sqrt[3]{\frac{28}{27}+1} – \sqrt[3]{\frac{28}{27}-1} \) とする。
(1) 整数を係数とする 3 次方程式で、\( \alpha \) を解にもつものがあることを示せ。
(2) \( \alpha \) は整数であることを示せ。また、その整数を答えよ。
【解答】
(1) \( p = \sqrt[3]{\frac{28}{27}+1}、 q = \sqrt[3]{\frac{28}{27}-1} \) とおくと、
\begin{eqnarray}
p^3 – q^3 & = & \left( \frac{28}{27}+1 \right) – \left( \frac{28}{27}-1 \right) \\
& = & 2 \\
p \cdot q & = & \sqrt[3]{ \left( \frac{28}{27}+1 \right) \left( \frac{28}{27}-1 \right) } \\
& = & \sqrt[3]{\frac{1}{27}} \\
& = & \frac{1}{3}
\end{eqnarray}
よって
\begin{eqnarray}
\alpha^3 & = & ( p – q )^3 \\
& = & (p^3-q^3) – 3pq(p-q) \\
& = & 2 – 3 \cdot \frac{1}{3} \cdot \alpha \\
∴ & & \alpha^3 + \alpha -2 = 0
\end{eqnarray}
上記は整数係数の 3 次方程式 \( x^3 + x − 2 = 0 \) が \( \alpha \) を解とすることを示す。
(2) (1)の3次方程式 \( x^3 + x − 2 = 0 \) を解くと、
$$ ( x-1 )(x^2 + x +2 ) = 0 $$
ここで、\( x^2 + x +2 = (x+\frac{1}{2})^2+\frac{7}{4} \gt 0 \) だから、\( x = 1 \) となり、\( \alpha \) は整数であり、\( \alpha = 1 \) となる。
