\( p \) は素数とする。正の整数 \( n \) に対し、\( p^d \) が \( n \) の約数となる整数 \( d \ (d\ge0) \) の中で最大のものを \( f(n) \) とする。このとき、以下の問いに答えよ。
（1）\( p=3, \ n=3^2! \) のとき \( f(n) \) の値を求めよ。
（2）\( p=5, \ n=5^2! \) のとき \( f(n) \) の値を求めよ。
（3）\( m\) が正の整数で \( n=p^m! \) のとき \( f(n) \) を求めよ。
【解答】
（1）
\begin{eqnarray}
n &=& 3^2!=1 \cdots \underline{3} \cdots \underline{6} \cdots \underline{9} \\
&=& k \times 3^4 （k：整数）\\
∴f(n) &=& 4 \cdots （答）
\end{eqnarray}
（2）
\begin{eqnarray}
n &=& 5^2!=1 \cdots \underline{5} \cdots \underline{10} \cdots \underline{15} \cdots \underline{20} \cdots \underline{25}\\
&=& l \times 5^6 （l：整数）\\
∴f(n) &=& 6 \cdots （答）
\end{eqnarray}
（3）
\begin{eqnarray}
n &=& p^m! \\
&=& 1 \cdots p \cdots 2p \cdots 3p \cdots \cdots p^m \hspace{10pt} \cdots ① \\
\end{eqnarray}
ここで
\begin{array}{rl}
p^m 以下の自然数で & \displaystyle p の倍数は \frac{p^m}{p}= p^{m-1} 個 \\
& \displaystyle p^2 の倍数は \frac{p^m}{p^2}= p^{m-2} 個 \\
& \displaystyle p^3 の倍数は \frac{p^m}{p^3}= p^{m-3} 個 \\
& \cdots \\
& \displaystyle p^m の倍数は \frac{p^m}{p^m}= 1 個 \\
\end{array}
となる。\( n \) の因数に含む \( p \)の数が \( f(n) \) となるので、
\begin{eqnarray}
f(n) &=& 1 + p + \cdots + p^{m-2} + p^{m-1} \\
&=& \frac{p^m-1}{p-1} \cdots （答）
\end{eqnarray}
