マクローリン展開の一般形
無限回微分可能な関数 \(f(x)\) について、以下の等式が成立する
$$ f(x) = \displaystyle \sum_{ k=0 }^{ \infty } f^{ (k) } (0) \frac{ x^{ k } }{ k! } \tag{1} $$
\(f^{(k)}\) は \(k\) 階微分を示します。こちらを展開してみると、
$$ f(x) = f(0) + f^{\prime}(0) x + f^{(2)}(0) \frac{ x^{2} }{ 2! }+f^{(3)}(0) \frac{ x^{3} }{ 3! } + \cdots \tag{2} $$
となり、どんな関数でも \(x\) の多項式で表現できることがわかります。
マクローリン展開の例
有名な関数のマクローリン展開として、
\begin{eqnarray}
e^x & = & 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots \tag{3} \\
\sin x & = & x – \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} – \cdots +(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \cdots \tag{4} \\
\cos x & = & 1 – \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} – \cdots +(-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + \cdots \tag{5}
\end{eqnarray}
があります。
微分を使った導出
以下のような求め方もできます。まず、
$$ e^x = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 \cdots $$
とおきます。まず両辺に \(x=0\) を代入すると、\(a_0=1\) が求まります。さらに両辺を\(x\) で微分すると、
$$ e^x = 1 \times a_1 + 2 \times a_2 x + 3 \times a_3 x^2 + \cdots $$
となり、両辺に\(x=0\) を代入すると、\(a_1=1\) となります。同じ操作を繰り返していくと、\( \displaystyle a_2=\frac{1}{2!}, a_3=\frac{1}{3!}, \dots ,a_n= \frac{1}{n!}\) となることがわかります。これは \( ( e^x)^{(n)} \) に \(x=0\) を代入すると\(1\) になるから求めることができます。
同様に\(\sin x\) もやってみましょう。同じように、
$$ \sin x = b_0 + b_1 x + b_2 x^2 + b_3 x^3 \cdots $$
とおきます。両辺に\(x=0\) を代入すると、\(b_0=0\) が求まります。さらに両辺を\(x\) で微分すると、
$$ \cos x = b_1 + b_2 x^2 + b_3 x^3 \cdots $$
となり、両辺に\(x=0\) を代入すると、\(b_1=1\) となります。同じ操作を繰り返していくと、\(\displaystyle b_2=0, b_3=-\frac{1}{3!}, \dots ,b_{2n}=0,b_{2n+1} = (-1)^{n}\frac{1}{(2n+1)!}\) となることがわかります。これも\(\sin 0=0,\cos 0 = 1\)になるから求めることができます。
\(\cos x\)も同じように導出できますので、お試しください。
