\( a,b,c \) を相異なる正の実数とするとき、以下の問いに答えよ。
（１）次の \(2\) 数の大小を比較せよ。
$$ a^3+b^3, \ a^2b+ab^2 $$
（２）次の \( 4 \) 数の大小を比較し、小さいほうから順に並べよ。
\begin{eqnarray}
&& (a+b+c)(a^2+b^2+c^2), \\
&& (a+b+c)(ab+bc+ca), \\
&& 3(a^3+b^3+c^3), \ 9abc
\end{eqnarray}
（３）\( x,y,z \) を正の実数とするとき、
$$ \frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}+\frac{x+y}{z} $$
のとりうる値の範囲を求めよ。
【解説】
（１）は両辺の差を因数分解して正負を調べましょう。
（２）は大きさの順を想定してから大小を比較します。例えば、\(a=1,b=2,c=3 \) の値を調べると、
\begin{eqnarray}
(a+b+c)(a^2+b^2+c^2) &=& 84 （2番目）\\
(a+b+c)(ab+bc+ca) &=& 66 （3番目）\\
3(a^3+b^3+c^3) &=& 106 （1番目）\\
9abc &=& 54 （4番目）
\end{eqnarray}
となり、大きさの順番がわかります。差の符号を調べます。
（３）は相加相乗平均を使うと、簡単に計算できます。たとえば、\( \frac{y}{x}+\frac{x}{y} \ (x,y>0) \) のとり得る範囲を考えてみるとわかりやすいですね。
\begin{equation}
\frac{1}{2} \left( \frac{y}{x} + \frac{x}{y} \right) \ge \sqrt{\frac{y}{x}\cdot\frac{x}{y}} \\
\frac{y}{x} + \frac{x}{y} \ge 2 \\
（等号成立は x=y のとき）
\end{equation}
前の結果は使わないんですね。
【解答】
（１）
\begin{eqnarray}
(a^3+b^3)-(a^2b+ab^2) &=& (a^3-a^2b)+(b^3-ab^2) \\
&=& a^2(a-b)-b^2(a-b) \\
&=& (a-b)(a^2-b^2) \\
&=&(a-b)^2(a+b) \\
\end{eqnarray}
\( a,b \) は相異なる正の数より \( (a-b)^2>0, \ a+b>0 \) だから
\begin{equation}
(a^3+b^3)-(a^2b+ab^2) > 0 \\
∴a^3+b^3 > a^2b+ab^2 \cdots ①
\end{equation}
（２）
\begin{eqnarray}
&& 3(a^3+b^3+c^3) – (a+b+c)(a^2+b^2+c^2) \\
&& \hspace{10pt} = 3(a^3+b^3+c^3) – (a^3+ab^2+c^2a+a^2b+b^3+bc^2+ca^2+b^2c+c^3) \\
&& \hspace{10pt} = 2(a^3+b^3+c^3) – \{ (a^2b+ab^2)+(b^2c+bc^2)+(c^2a+ca^2) \} \\
&& \hspace{10pt} = \{ (a^3+b^3)-(a^2b+ab^2) \} + \{ (b^3+c^3)-(b^2c+bc^2) \} \\
&& \hspace{20pt} + \{ (c^3+a^3)-(c^2a+ca^2) \} \cdots ② \\
\end{eqnarray}
ここで①より
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{l}
a^3+b^3 > a^2b+ab^2 \\
b^3+c^3 > b^2c+bc^2 \\
c^3+a^3 > c^2a+ca^2
\end{array}
\right.
\end{equation}
だから
\begin{equation}
3(a^3+b^3+c^3) – (a+b+c)(a^2+b^2+c^2) > 0 \\
∴3(a^3+b^3+c^3) > (a+b+c)(a^2+b^2+c^2) \cdots ③
\end{equation}
次に
\begin{eqnarray}
&& (a+b+c)(a^2+b^2+c^2) – (a+b+c)(ab+bc+ca) \\
&& \hspace{10pt} = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) \\
&& \hspace{10pt} = \frac{1}{2}(a+b+c)\{ 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca \} \\
&& \hspace{10pt} = \frac{1}{2}(a+b+c)\{ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \} \\
\end{eqnarray}
\( a,b,c \) は相異なる正の数より \( a+b+c>0, \ (a-b)^2>0, \ (b-c)^2>0, \ (c-a)^2>0 \) だから
\begin{equation}
(a+b+c)(a^2+b^2+c^2) – (a+b+c)(ab+bc+ca) > 0 \\
∴(a+b+c)(a^2+b^2+c^2) > (a+b+c)(ab+bc+ca) \cdots ④ \\
\end{equation}
次に
\begin{eqnarray}
&& (a+b+c)(ab+bc+ca) – 9abc \\
&& \hspace{10pt} = a^2b+abc+ca^2+ab^2+b^2c+abc+abc+bc^2+c^2a-9abc \\
&& \hspace{10pt} = a^2b+ca^2+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a-6abc \\
&& \hspace{10pt} = (ab^2+c^2a-2abc)+(bc^2+a^2b-2abc)+(ca^2+b^2c-2abc) \\
&& \hspace{10pt} = a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2 \\
\end{eqnarray}
\( a,b,c \) は相異なる正の数より \( (a-b)^2>0, \ (b-c)^2>0, \ (c-a)^2>0 \) だから
\begin{equation}
(a+b+c)(ab+bc+ca) – 9abc > 0 \\
∴(a+b+c)(ab+bc+ca) > 9abc \cdots ⑤ \\
\end{equation}
③④⑤より
\begin{eqnarray}
&& 9abc < (a+b+c)(ab+bc+ca) \\
&& \hspace{10pt} < (a+b+c)(a^2+b^2+c^2) < 3(a^3+b^3+c^3)
\end{eqnarray}
（３）
\begin{eqnarray}
&& \frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}+\frac{x+y}{z} \\
&& \hspace{10pt} = \frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z} \\
&& \hspace{10pt} = \left( \frac{y}{x}+\frac{x}{y} \right) + \left( \frac{z}{x}+\frac{x}{z} \right) + \left( \frac{z}{y}+\frac{y}{z} \right) \cdots ⑥ \\
\end{eqnarray}
相加相乗平均の関係より
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{y}{x}+\frac{x}{y} \ge 2\sqrt{\frac{y}{x}\cdot\frac{x}{y}} = 2 \cdots ⑦ \\
（等号成立はx=yのとき） \\
\displaystyle \frac{z}{x}+\frac{x}{z} \ge 2\sqrt{\frac{z}{x}\cdot\frac{x}{z}} = 2 \cdots ⑧ \\
（等号成立はx=zのとき） \\
\displaystyle \frac{z}{y}+\frac{y}{z} \ge 2\sqrt{\frac{z}{y}\cdot\frac{y}{z}} = 2 \cdots ⑨ \\
（等号成立はy=zのとき） \\
\end{array}
\right.
\end{equation}
⑦⑧⑨の辺々を加えると、
\begin{equation}
\left( \frac{y}{x}+\frac{x}{y} \right) + \left( \frac{z}{x}+\frac{x}{z} \right) + \left( \frac{z}{y}+\frac{y}{z} \right) \ge 6 \\
∴\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}+\frac{x+y}{z} \ge 6 \\
（等号成立はx=y=zのとき）
\end{equation}
よって、とり得る値は \( 6 \) 以上
