\( m \) を自然数とする。
（１）\( m \) が偶数のとき、\( m^{m-1}+1 \) を \( 8 \) で割った余りを求めよ。
（２）\( m \) が奇数のとき、\( m^{m-1}+1 \) を \( 8 \) で割った余りを求めよ。
【解説】
実験してみましょう。まずは \( m \) が偶数のときです。
\begin{array}{c|l}
m & m^{m-1}+1 ( \mod8 ) \\
\hline
2 & 2+1=3 \\
4 & 4^3+1\equiv0+1=1 \\
6 & 6^5+1\equiv0+1=1 \\
\end{array}
となり、\( m \ge 4 \) のとき、累乗の値は \( 8 \) の倍数になりますね。
次に \( m \) が奇数のときです。
\begin{array}{c|l}
m & m^{m-1}+1 ( \mod8 ) \\
\hline
1 & 1+1=2 \\
3 & 3^2+1=\equiv2 \\
5 & 5^4+1=626\equiv2 \\
\end{array}
となり、いずれも余りが \(2 \) になりそうですね。
【解答】
（１）
i) \( m=2 \) のとき
\begin{eqnarray}
m^{m-1}+1 &=& 2+1 =3 \equiv3 ( \mod 8 ) \\
\end{eqnarray}
ii) \( m \ge 4 \) のとき
\( m \) は偶数、すなわち \( 2 \) の倍数であり、また \( m-1 \ge 3\) だから \( m^{m-1} \) は \( 8 \) の倍数となる。したがって、
\begin{eqnarray}
m^{m-1}+1 &\equiv& 0+1 = 1 ( \mod8) \\
\end{eqnarray}
i)、ii)より、求める余りは、
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{ll}
m=2のとき3 & \\
m\ge4のとき1 & \\
\end{array}
\right . \cdots （答）\\
\end{equation}
（２）\( m=2k+1 \) （\(k\)は\(0\)以上の整数）とおくと、
\begin{eqnarray}
m^{m-1}+1 &=& (2k+1)^{(2k+1)-1}+1 \\
&=& \left\{ (2k+1)^2\right\}^k+1 \\
&=& (4k^2+4k+1)^k+1 \\
&=& \left\{ 4k(k+1)+1 \right\}^k+1 \cdots ① \\
\end{eqnarray}
i) \( k=0 \) のとき
$$ m^{m-1}+1 = 1+1 \equiv 2 (\mod8) $$
ii) \( k \ge 1 \) のとき、①より
\( k, \ k+1 \) は連続する整数だから、いずれか一方は偶数すなわち\(2\)の倍数だから、\( 4k(k+1) \) は\(8\)の倍数となる。よって①より
\begin{eqnarray}
m^{m-1}+1 &\equiv& 1^k+1 = 2 (\mod8) \\
\end{eqnarray}
i)、ii)より、求める余りは\( 2 \cdots \)（答）
