【問題】約数と倍数（2021年長岡技科大）

2021年　長岡技科大

$ n $ を $ 2 $ 桁の自然数とする。$ n^2 $ の下 $ 2 $ 桁が $ n $ に一致する。すなわち $ n^2-n $ が $ 100 $ の倍数になる $ n $ をすべて求めよ

$$ n^2-n=n(n-1) \cdots ① $$
$ n, n-1 $ は連続する数だから、一方が偶数で、他方が奇数となる。ここで、$ 100 = 2^2 \cdot 5^2 $ だから、一方が $ 2^2 $ の倍数、他方が $ 5^2 $ の倍数となる。

i) $ n $ が $ 5^2 $ の倍数のとき
$ n $ は $ 2 $ 桁の数だから、$ n=25,50,75 $ のいずれかとなる。このとき $ n-1=24,49,74 $ となり、$ n-1 $ が $ 4 $ の倍数となるのは、$ n = 25 $ のときのみ。

ii) $ n-1 $ が $ 5^2 $ の倍数のとき
$ n $ は $ 2 $ 桁の数だから、$ n-1=25,50,75 $ のいずれかとなる。このとき $ n=26,51,76 $ となり、$ n $ が $ 4 $ の倍数となるのは、$ n = 76 $ のときのみ。

i)、ii)より $ n^2-n $ が $ 100 $ の倍数となるのは、$ n=25,76 \cdots $（答）。