箱の中に \( 1 \) から \( n \) までの番号がついた \( n \) 枚の札がある。ただし \( n \ge 5 \) とし、同じ番号の札はないとする。この箱から \( 3 \) 枚の札を同時に取り出し、札の番号を小さい順に \( X, Y, Z \) とする。このとき、\( Y-X \ge 2 \) かつ \( Z-Y \ge 2 \) となる確率を求めよ。
【解答】
\( n \) 枚のカードから \( 3 \) 枚取り出す場合の数は、
\begin{equation}
{}_n C_3 = \frac{n(n-1)(n-2)}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{1}{6}n(n-1)(n-2)
\end{equation}
である。
\( Y=k \ ( k=3,4,5,\cdots ,n-2 ) \) とすると、\( X \) のとり得る範囲は \( 1 \le X \le k-2 \) で \( k-2 \) 通り、\( Y \) のとり得る範囲は \( k+2 \le Z \le n \) で \( n-(k-2)+1 = n-k-1 \) 通り。\( (X,Z) \) のとり得る組の数は
$$ (k-2)(n-k-1) $$
である。よって、題意を満たす \( (X,Y,Z) \) のとり得る場合の数は、
$$ \sum_{k=3}^{n-2} (k-2)(n-k-1) \cdots ① $$
ここで \( l=k-2 \) とおくと \( k=l+2 \) だから、①は、
\begin{eqnarray}
&& \sum_{l=1}^{n-4} l \{ n-(l+2)-1 \} \\
&& = \sum_{l=1}^{n-4} \{ (n-3)l-l^2 \} \\
&& = (n-3) \times \sum_{l=1}^{n-4} l – \sum_{l=1}^{n-4} l^2 \\
&& = (n-3) \times \frac{1}{2}(n-4)(n-3) -\frac{1}{6}(n-4)(n-3)\{2(n-4)+1\} \\
&& = \frac{1}{6} (n-4)(n-3) \{ 3(n-3)-(2n-7) \} \\
&& = \frac{1}{6} (n-4)(n-3)(n-2) \\
\end{eqnarray}
よって、求める確率は
\begin{eqnarray}
&& \frac{1}{{}_n C_3} \times \frac{1}{6}(n-4)(n-3)(n-2) \\
&& = \frac{6}{n(n-1)(n-2)} \times \frac{1}{6}(n-4)(n-3)(n-2) \\
&& = \frac{(n-3)(n-4)}{n(n-1)} \cdots （答）
\end{eqnarray}
